2019_2020学年高中数学第3课圆的方程与空间直角坐标系阶段复习课学案北师大版必修2

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1、第3课　圆的方程与空间直角坐标系[题型探究]求圆的方程【例1】　有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．[解]　法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得解得∴所求圆的方程为：x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法二：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝＝－2，∴kBP＝，∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.解方程组得∴P(7,3)，∴圆心为AP中心，

2、半径为

3、AC

4、＝，∴所求圆的方程为(x－5)2＋2＝.求圆的方程主要是利用圆系方程、圆的标准方程和一般方程关系，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程.1．已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程．[解]　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，即圆心为(a，－2a)．又圆与直线x－y－1

5、＝0相切，且过点(2，－1)，∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，解得a＝1或a＝9.∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝，故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.与圆有关的最值问题【例2】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0(1)求的最大值与最小值；(2)求y－x的最大值与最小值；(3)求x2＋y2的最大值与最小值．[思路探究]　注意到，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；y－x可以看作直线y＝x＋b在y轴上

6、的截距；x2＋y2是圆上一点与原点距离的平方，借助平面几何知识，利用数形结合求解．[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．(1)设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝3相切时，斜率k取得最大值与最小值，此时＝，解得k＝±.故的最大值为，最小值为－.(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当直线y＝x＋b与圆相切时，直线在y轴上的截距b取得最大值与最小值，此时＝，解得b＝－2±，故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点的距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心

7、的连线上时与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心与原点的距离为2，故x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.与圆有关的最值问题的转化(1)形如μ＝f(y－b,x－a)的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题.(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题.(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题.2．(1)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)A．36　　　B．18　　　C．6　　　D．

8、5(2)已知实数x，y满足x2＋y2＝1，求的取值范围．(1)C　[圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心到直线x＋y－14＝0的距离d＝5.∵d＞r，∴直线与圆相离．∴最大距离与最小距离的差是两个半径，即6.](2)解：如图所示，设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的点，则表示过P(x，y)和Q(－1，－2)两点的直线PQ的斜率．过点Q作圆的两条切线QA，QB，由图可知QB⊥x轴，kQB不存在，且kQP≥kQA.设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)，由圆心到QA的距离为1，得＝1，解得k＝.所以的取值范围是.直线与圆

9、的位置关系【例3】　已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．[解]　(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知，此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由题意知，＝2，解得k＝.∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4

10、y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.(3)