2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.3.1利用导数判断函数的单调性学案新人教B版

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1、3.3.1　利用导数判断函数的单调性学习目标核心素养1.理解导数与函数单调性的关系．2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．(难点)1.通过学习导数与函数单调性的关系，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养．2．通过利用导数判断函数单调性及求函数的单调区间，提升学生的数学运算素养.函数的单调性与导函数正负的关系导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性＞0＞0锐角上升单调递增＜0＜0钝角下降单调递减思考1：观察下列各图，完成表格内容．函数及其图象切线斜率k正负导数

2、正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减思考2：在区间(a，b)上，如果f′(x)＞0，则f(x)在该区间是增函数，反过来也成立吗？[提示]　不一定成立．例如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)＞0是f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件．1．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是(　　)A．增函数B．减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数A　[∵x∈(0，＋∞)，f′(

3、x)＝1＋＞0，∴函数在(0,6)上单调递增．]2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(　　)A．(－∞，1]　　B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(0，＋∞)D　[由f′(x)＝ex－1＞0得x＞0，故选D.]3．若函数y＝x3＋ax在R上是增函数，则a的取值范围是________．[0，＋∞)　[∵y′＝3x2＋a且y＝x3＋ax在R上是增函数．∴3x2＋a≥0在R上恒成立，即a≥－3x2在R上恒成立．∴a≥(－3x2)max，∴a≥0.]判断或证明函数的单调性【例1】　判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞

4、，＋∞)上的单调性．[思路探究]　→→[解]　∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．判断函数单调性的两种方法(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1

5、研究必须保证在定义域内这个前提下进行．1．证明函数y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．[证明]　显然函数的定义域为{x

6、x＞0}，又因为y′＝(lnx＋x)′＝＋1，当x＞0时，y′＞1＞0，所以y＝lnx＋x在其定义域内为增函数.利用导数求函数的单调区间【例2】　(1)求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间；(2)讨论函数f(x)＝x2－alnx(a≥0)的单调性．[思路探究]　(1)→→→(2)用分类讨论的方法确定f′(x)的符号，确定函数在各区间内的单调性．[解]　(1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为

7、(0，＋∞)．f′(x)＝6x－＝＝，当x＞0，解f′(x)＞0，得x＞，由x＜0，解f′(x)＜0，得0＜x＜.∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝.设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.当a＝0时，f′(x)＝2x＞0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x∈时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，当x∈时，g(x)＞0，即f′(x)＞0.所以当a＞0

8、时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上，当a＝0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．(1)求函数y＝f(x)单调区间的步骤①确定函数y＝f(x)的定义域.②求导数y′＝f′(x).,③解不等式f′(x)>0，函数在单调区间上为增函数；解不等式f′(x)<0，函数在单调区间上为减函数.(2)含有参数的函数单调性问题的处理方法①在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误

9、.②分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.2．已知函数f(x)＝x2－(a＋m)x＋alnx，且f′(1)＝0，其中a，m∈R.(1)求m的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．[解]　(1)由题设知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f