2019_2020学年高中数学第3章数学归纳法与贝努利不等式章末复习课讲义新人教B版

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1、第3章数学归纳法与贝努利不等式[自我校对]①柯西不等式②贝努利不等式归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用，在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时，命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立．【例1】　用数学归纳法证明，对于n∈N＋，＋＋＋…＋＝.[精彩点拨]　按照数学归纳法的步骤证明即可．[规范解答]　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，所以等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即＋＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知对于任意n∈N＋，等式都成立．

2、1．用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，＋＋…＋＝.[证明]　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切x∈N＋等式都成立.归纳——猜想——证明不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．【例2】　设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，….(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并

3、由此猜想出数列{an}的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①an≥n＋2；②＋＋…＋≤.[精彩点拨]　(1)通过观察数列{an}的前4项，归纳猜想得到数列{an}的通项公式，(2)利用数学归纳法证明．[规范解答]　(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3；由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4；由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)．(2)①用数学归纳法证明：当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k

4、＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋2.②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，对k≥2，有ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1≥23ak－3＋22＋2＋1≥…∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1＝2k－1(a1＋1)－1，于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，k≥2.∴＋＋…＋≤＋＝＝·＜≤＝.因此，原不等式成立．2．对于一切正整数

5、n，先猜出使tn＞n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n＋1)·＞lg(1·2·3·…·n)．[解]　猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n＞n2成立．下面用数学归纳法进行证明．当n＝1时，31＝3＞1＝12，命题成立．假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k＞k2成立，则有3k≥k2＋1.对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k≥k2＋2(k2＋1)＞3k2＋1.∵(3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，∴3k＋1＞(k＋1)2，∴对n＝k＋1，命题成立．由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立．再用数学归纳法证明：

6、n(n＋1)·＞lg(1·2·3·…·n)．当n＝1时，1·(1＋1)·＝＞0＝lg1，命题成立．假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，k(k＋1)·＞lg(1·2·3·…·k)成立．当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)·＝k(k＋1)·＋2(k＋1)·＞lg(1·2·3·…·k)＋lg3k＋1＞lg(1·2·3·…·k)＋lg(k＋1)2＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]，命题成立．由上可知，对一切正整数n，命题成立.数学归纳法证题的常用技巧在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可

7、以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．1．分析综合法用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法．【例3】　求证：＋＋…＋<，n∈N＋.[精彩点拨]　要证不等式左边是n项，右边是一项，当n＝k＋1时，要结合归纳假设，利用分析综合法证明不等式．[规范解答]　(1)当n