2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程33.2双曲线的简单性质学案北师大版选修

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1、3．2　双曲线的简单性质学习目标：1.掌握双曲线的简单性质．(重点)2.感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)双曲线的简单性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

2、F1F2

3、＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2ba叫实半轴长，b叫虚半轴长离心率e＝＝(e>1)渐近线y＝±xy＝±x思考：(1

4、)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？[提示]　(1)不一样．椭圆的离心率01.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)(2)双曲线－＝1的实轴长为6.(　　)(3)离心率越大，双曲线的开口就越

5、大．(　　)(4)等轴双曲线的离心率为.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．若双曲线＋＝1的离心率为，则实数k的值为(　　)A．－　　　　　B.C．－6D．6C　[由题意可知k<0，a＝，b＝，c＝＝，所以e＝＝＝，得k＝－6.]3．已知双曲线x2－y2＝2，过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l的条数为(　　)A．1B．2C．3D．4B　[P(2,0)在双曲线的内部，故过点P(2,0)与双曲线有且只有一个交点的直线为过P与双曲线渐近线平行的直线．]4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是__

6、______．[解析]　由双曲线方程－＝1易知，a＝，b＝，所以c＝＝.则焦距2c＝2.[答案]　2双曲线的简单性质【例1】　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．[解]　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.由双曲线的标准方程，求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为a2，b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线

7、的几何性质得到相应的答案.1．(1)双曲线－y2＝1的离心率为________；(2)双曲线x2－3y2＋12＝0的渐近线方程为________；(3)双曲线4y2－9x2＝36的顶点坐标为________．[解析]　(1)由双曲线的方程，得a＝2，b＝1，∴c＝＝.故双曲线的离心率e＝＝；(2)双曲线化为标准方程为－＝1，∴a＝2，b＝2，焦点在y轴上，故其渐近线方程为y＝±x＝±x；(3)双曲线化为标准方程为－＝1，∴a＝3，焦点在y轴上，故其顶点为(0，－3)，(0,3)．[答案]　(1)　(2)y＝±x　(3)(0，－3)，(0,3)利用双曲线的

8、性质求双曲线方程【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．思路探究：由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值．[解]　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.(2)法一：(待定系数法)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的

9、标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.法二：(双曲线系法)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.由双曲线的简单性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为

10、避免讨论焦点的位置.2．(1)已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线