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时间:2019-11-05
《2019_2020学年高中数学第1章集合与函数概念阶段复习课学案新人教A版必修1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1章集合与函数概念求函数的定义域【例1】 (1)求函数y=+-的定义域.(2)将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域.[解] (1)解不等式组得故函数的定义域是{x
2、1≤x≤5且x≠3}.(2)设矩形的一边长为x,则另一边长为(a-2x),所以y=x·(a-2x)=-x2+ax,定义域为.1.已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.2.实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.1.函数f(x)=+(3x-1)0的定义域是( )A.
3、 B.C.D.∪D [由得x<1且x≠,故选D.]求函数的解析式【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数,当x>0时,f(x)=+1,则f(x)的解析式为________.(2)已知f=+,则f(x)的解析式为________.(1)f(x)=(2)f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞) [(1)设x<0,则-x>0,∴f(-x)=+1.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-f(x)=+1,∴f(x)=--1.∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,∴f(x)=(2)令t==+1,则t≠1.把x=代入
4、f=+,得f(t)=+=(t-1)2+1+(t-1)=t2-t+1.所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).]求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数),使用待定系数法.(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f,使用解方程组法.(4)已知一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.2.(1)已知f(x)-3f(-x)=2x-1,则f(x)=________.(2)二
5、次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R,a≠0)满足条件:①当x∈R时,f(x)的图象关于直线x=-1对称;②f(1)=1;③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式.(1)x+ [因为f(x)-3f(-x)=2x-1,以-x代替x得f(-x)-3f(x)=-2x-1,两式联立得f(x)=x+.](2)[解] 因为f(x)的对称轴为x=-1,所以-=-1即b=2a,又f(1)=1,即a+b+c=1,由条件③知:a>0,且=0,即b2=4ac,由上可求得a=,b=,c=,所以f(x)=x2+x+.函数的性质及应用【
6、例3】 已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数.思路点拨:(1)用f(0)=0及f=求a,b的值;(2)用单调性的定义求解.[解] (1)由题意,得∴故f(x)=.(2)任取-10,1+x>0.又-10,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)在(-1,1)上是增函数.1.在本例条件不变的情况下解不等
7、式:f(t-1)+f(t)<0.[解] 由f(t-1)+f(t)<0得f(t-1)<-f(t)=f(-t).∵f(x)在(-1,1)上是增函数,∴-1f(x2)的形式.(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在
8、对称区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.函数的图象及应用【例4】 已知:函数f(x)=x2-2
9、x
10、-1(-3≤x≤3).(1)求证:f(x)是偶函数;(2)画出这个函数的图象;(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)的单调性;(4)求函数f(x)的值域.[解] (1)证明:∵函数的定义域为[-3,3],关于原点对称,又∵f(-x)=(-x)2-2
11、-x
12、-1=x2-2
13、x
14、-1=f(x),∴f(x)为偶函数.(2)当0≤x≤3时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,当-
15、3≤x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=根据分段函数的作图方法,可得函数图象如图所示.(3)函数f(x)的单调区间为:[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].f(x)在[-3,-1),[0,1)上为减函数;在[-1,0
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