2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语章末复习课学案北师大版选修

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1、第1章常用逻辑用语1．四种命题：原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．2．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判断．判断充要条件时常见有两种方法，分别是定义法和集合关系法．3．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p或q”“p且q”“非p”．4．命题的否定与否命题的区别：否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．命题关系及其真假判定【例1】　判断下列命题的真假：(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命

2、题与逆否命题；(2)若自然数能被6整除，则自然数能被2整除的逆命题；(3)若0＜x＜5，则

3、x－2

4、＜3的否命题及逆否命题；(4)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则a∈(－2,2)的原命题、逆命题．[解]　(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都能被2整除，但不能被6整除．(3)否命题：若x≤0或x≥5

5、，则

6、x－2

7、≥3.否命题为假．反例：x＝－≤0，但＝＜3.逆否命题：若

8、x－2

9、≥3，则x≤0或x≥5.逆否命题为真，因

10、x－2

11、≥3⇒x≥5或x≤－1.(4)原命题为假．因为(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0，当a＝2时，变为－4＜0，故为假命题．逆命题：若a∈(－2,2)，则不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立．逆命题为真，因为当a∈(－2,2)时，Δ＜0，且a－2＜0.1．四种命题的改写步骤(1)确定原命题的条件和结论．(2)逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定

12、了的结论作条件、否定了的条件作结论．2．命题真假的判断方法：直接法、间接法．1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)相等的两个角的正弦值相等；(2)若x2－2x－3＝0，则x＝3.[解]　(1)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(2)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．充分条件与必要条

13、件【例2】　设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足若﹁p是﹁q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[解]　由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a

14、﹁p}，B＝{x

15、﹁q}，则AB，又A＝{x

16、﹁p}＝{x

17、x≤a或x≥3a}，B＝{x

18、﹁q}＝{x

19、x≤2或x>3}，则03，所以实数a的取值范围是.判断充分条件、必要条件和充要条件的方法(1)定义法：①p⇒q且qp，则p是q的充分不

20、必要条件.②pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件.③p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件.④pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.(2)集合法：①若AB，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，同时x∈B是x∈A的必要不充分条件.②若A⊆B，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件.③若A＝B，则x∈A是x∈B的充要条件，x∈B是x∈A的充要条件.④若AB且BA，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件.2．(1)给定两个命题p，q，若﹁p是q的必要不充分条件，则p是﹁q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必

21、要条件(2)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　(1)由题意，“若q，则﹁p”为真，则其逆否命题“若p，则﹁q”也为真，即p是﹁q的充分不必要条件．(2)由“x＝2且y＝－1”，可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”，反之不成立，故选A.[答案]　(1)A　(2)A全称命题与特称命题【例3】　判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假：(1)对任意实数x，都有x2＋3>0；(2)每一个指数函数都是增函数；(3)至少有一个自

22、然数小于1；(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋2