直线与椭圆的位置关系(上课用)

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1、直线与椭圆的位置关系怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？d>rd0∆<0∆=0几何法：代数法：思考：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题2：直线与椭圆的位置关系？否则不能！2.代数法----求解直线与二次曲线有关问题的通法。因为他们不像圆一样有统一的半径。1.如果已知直线某些特殊点在椭圆内或椭圆上则可以;例1、已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，①判断它们的位置关系。x2+4y2=2法二：联立方程组消去y∆>0因为所以，方程（１）有两个根，则原方程组有两组解….----

2、-(1)例题讲解法一：因为经过点，该点在椭圆的内部，所以直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆相交所以直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆相交※小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。∆<0，∆=0，∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）看提出问题：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？一、几何法：判断直线上特殊点与椭圆的的位置关系二、代数法：aAaB例1、已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。x2+4y2=2法二：联立方程组消去y∆>0因为所以，方程（１）

3、有两个根，则原方程组有两组解….-----(1)例题讲解法一：因为恒过点，该点在椭圆的内部，所以直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆相交所以直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆相交例题讲解例1、求直线y=x-被椭圆x2+4y2=2所截的弦长

4、AB

5、.x2+4y2=2解：联立方程组消去y-----(1)法一：直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标为（x1,y1）、（x2,y2），则有弦长公式：弦长公式例题讲解例1、求直线y=x-被椭圆x2+4y2=2所截的弦长

6、AB

7、.x2+4y2=2解：联立方程组消去y-----(1)根

8、据弦长公式得：法一：法二：法一：若弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得x2+4[k(x-2)+1]2=16即得（1+4k2）x2-（16k2-8k）x+（16k2-16k-12）=0∵直线与椭圆有两个交点，M（2，1）为弦的中点故△=16(k2+4k+3)>0①例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-44xyM(2,1)0分析：显然，只须求出这条直线的斜率即可②两

9、式联立解得k=∴所求直线方程为x+2y-4=0.(x1,y1)(x2,y2)※评：本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，联立方程组，由此得出△>0，又利用了中点坐标公式和韦达定理，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是通法，大家务必掌握.但是，这种解法显得较繁（特别是方程组16(k2+4k+3)>0显得较繁）法二：若弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1

10、）且被这一点平分的弦所在的直线方程.-2-44xyM(2,1)0分析：显然，只须求出这条直线的斜率即可两式相减得：(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0(x1,y1)(x2,y2)并设直线与椭圆的两个交点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则k=∵交点在椭圆上，x12+4y12=16①x22+4y22=16②所以即4+8k=0∴k=∴所求直线方程为x+2y-4=0.设而不求法3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用△、中点坐标公式和韦达定理求解；（2）设而不求：设两

11、交点坐标,代入曲线方程相减，求弦的斜率.1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；小结:2、弦长的计算方法：（1）两点距离公式：先求交点坐标（2）弦长公式：

12、AB

13、==（适用于任何曲线）1、直线l：y=2x+m与椭圆有公共点，求实数m的取值范围。作业：2：在椭圆中，求通过点M（4，2）且被这一点平分的弦所在的直线方程.