高中数学第二讲四弦切角的性质课堂探究新人教A版选修

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1、四弦切角的性质课堂探究探究一弦切角定理在使用弦切角定理时，关键是要弄清哪个角是弦切角，这样才能正确解决问题．【典型例题1】如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，求△ABC各边的长．思路分析：∠BAE为弦切角，于是∠BAE＝∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可求得∠C的度数，进而解直角三角形即可．解：∵AD为⊙O的切线，∴∠BAE＝∠ACB.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC＝2∠BAE.又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠C＝30°.则有BE＝1，AB＝，BC＝

2、3，AC＝2.点评在题目中出现了圆的切线，常用弦切角定理解决问题．探究二弦切角定理的应用在证明与圆有关的命题时，弦切角定理与圆周角定理等经常要综合应用，正确找出符合定理条件的角是应用定理的前提．【典型例题2】已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，CD的延长线交过B点的切线于E.求证：＝.思路分析：直接证明此等式有一定的难度，可以考虑把它分解成两个比例式的形式，然后借助相似三角形的性质得出结论．3证明：连接BD，如图所示．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∠BCD＝∠BAD，∠CBD＝∠CAD，∴∠BCD＝∠CBD.∴BD＝CD.又B

3、E为⊙O的切线，∴∠EBD＝∠BAD，∴∠EBD＝∠BCD.故在△BED和△CEB中，∠EBD＝∠ECB，∠BED＝∠CEB，∴△BED∽△CEB.∴＝，＝，∴2＝.又BD＝CD，∴＝.点评已知直线与圆相切，证明线段成比例时，常先利用弦切角定理和圆周角定理获得角相等，再通过三角形相似得到成比例线段．探究三易错辨析易错点：忽视弦切角的一边是切线【典型例题3】如图所示，△ABC内接于⊙O，AD⊥AC，∠C＝32°，∠B＝110°，则∠BAD＝__________.错解：∵AD⊥AC，∴∠BAD是弦切角．∴∠BAD＝∠C.又∠C＝32°，∴∠BAD＝32°.错因分析：

4、错解中，误认为∠BAD是弦切角，其实不然，虽然AD⊥AC，但AD3不是切线．正解：∵∠C＋∠B＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠C－∠B＝38°.又AD⊥AC，∴∠BAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝90°－∠BAC＝90°－38°＝52°.3