高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式二课堂导学案

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1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学三点剖析1.二倍角公式在证明题中的应用【例1】求证:（1+tanx·tan）=tanx.思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx，tan=.证法1：左端=（1+)=sinx（1+）==tanx=右端.证法2：左端===tanx=右端.温馨提示证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.2.二倍角公式在化简题中的应用【例2】已

2、知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈［0，］，求f（x）的最大值，最小值.解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x=cos2x-sin2x=cos（2x+），所以f（x）的最小正周期T=2=π.（2）因为0≤x≤，所以≤2x+≤.当2x+=时，cos（2x+）取得最大值；当2x+=π时，cos（2x+）取得最小值-1.所以f（x）在［0，］上的最大值为1，最小值为.温

3、馨提示（1）将cos2x-sin2x变形为sin（-2x），也会有同样的结果;（2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ均为常数，A＞0）的形式，然后再求周期和最值.3.公式的综合、灵活运用【例3】已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx（1）求f（）的值；（2）设α∈（0，π），f（）=-，求sinα的值解：（1）∵sin=，cos=，∴f（）=-3sin2+sincos=0（2）f（x）=cos2x-+sin2x∴f（）=cosα+sin

4、α-=-，16sin2α-4sinα-11=0解得sinα=.∵α∈（0，π），∴sinα＞0故sinα=温馨提示要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会只有灵活运用公式，才能灵活解决问题各个击破类题演练1求证：3+cos4α-4cos2α=8sin4α.证法1：∵左边=2+1+cos4α-4cos2α=2+2cos22α-4cos2α=2（cos22α-2cos2α+1）=2（cos2α-1）2=2（-2sin2α）2=8sin4α=右边.∴等式成立.证法2：右边=2×4sin4

5、α=2（1-cos2α）2=2（1-2cos2α+cos22α）=2-4cos2α+2cos22α=2-4cos2α+1+cos4α=3+cos4α-4cos2α=左边.∴等式成立.变式提升1求证:证明：左边====2cos2θ（sin2θ+cos2θ）右边====2cos2θ（sin2θ+cos2θ）∴左边=右边，故等式成立.类题演练2设函数f（x）=sin2x+sinxcosx+α，（1）写出函数f（x）的单调递增区间;（2）求f（x）的最小正周期.解：（1）f（x）=sin2x+a=sin2x-cos2x+a+=si

6、n（2x-）+a+,2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f（x）的单调递增区间是［kπ-，kπ+］，k∈Z（2）T==π，∴f（x）的最小正周期为π.变式提升2已知函数y=sin2x-2（sinx+cosx）+a2设t=sinx+cosx，t为何值时，函数y取得最小值；解：∵t=sinx+cosx=sin（x+），-≤t≤，∴t2=1+2sinxcosx=1+sin2x，sin2x=t2-1，∴y=t2-1-2t+a2=（t-1）2+a2-2∵-≤t≤，∴当t=1时，函数y取得最小值a2-

7、2类题演练3已知α为第二象限角，且sinα=，求的值.解：∵sinα=，α为第二象限角，∴cosα=-.∴sin2α=2sinαcosα=.==变式提升3函数f（x）=sin2（x+）-sin2（x-）是（）A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数C.周期为2π的偶函数D.周期为2π的奇函数解析：f（x）===sin2x.∴T==π,f（x）为奇函数.答案：B