高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式知识巧解学案

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1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos2α=cos2α-sin2α.由于sin2α+cos2α=1，显然，把sin2α=1-cos2α代入cos2α=cos2α-sin2α，得cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1.同理，消去cos2α，得cos2α=1-2sin2α.tan

2、(α+β)=.综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S2α、C2α中的角α是任意的，但公式T2α即tan2α=中的角是有条件限制的.要使tan2α有意义，需满足1-tan2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠+kπ(k∈Z)；当1-tan2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±+kπ(k∈Z).综上,可知要使T2α有意义，需α≠±+kπ且α≠+kπ(k∈Z).特别地，当α=+kπ(k∈Z)时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(+kπ)=tan(π+2kπ)=t

3、anπ=0.学法一得二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义.3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等.在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例，-1=1-2sin2；sin3α·cos3α=(2sin3αcos3α)=sin6α；cos22α-sin22α=cos4α；；=tan70°等.4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cos

4、α)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α；cos2α=；sin2α=.学法一得我们常把1+cosα=2cos2，1-cosα=2sin2称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos2α=，sin2α=称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答.典题•热题知识点一直接应用

5、倍角公式求值例1求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)；(3)；(4).解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=.(2)原式=(1-2sin215°)=cos30°=.(3)原式=.(4)原式=.方法归纳倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即(n∈N*)，(n∈N*)，(n∈N*).知识点二利用倍角公式给值求值例2已知x∈(，0)，cosx=，则tan2x等于()A.B.C.D.思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解.解法一：∵x∈(，0)，cosx=，∴sinx=.由倍角公

6、式sin2x=2sinxcosx=，cos2x=2cos2x-1=2×()2-1=.得tan2x=.解法二：∵x∈(，0)，cosx=，∴sinx=.∴tanx=.∴tan2x=.答案：D方法归纳①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”.②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法.例3已知sin(+α)sin(-α)=

7、，α∈(，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(+α)+(-α)=，可运用二倍角公式求出cos2α的值.解：由题设条件得sin(+α)sin(-α)=sin(+α)cos［-(-α)］=sin(+α)cos(+α)=sin(+2α)=cos2α=，∴cos2α=.∵α∈(，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=>0，∴2α∈(，2π).∴sin2α=.∴sin4