高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式达标训练

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1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式更上一层楼基础•巩固1.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于()A.B.C.D.思路分析:原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+sin30°=1+=.答案:C2.的值等于()A.0B.C.1D.思路分析:原式=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos=.答案:D3.的值是()A.1B.2C.4D.思路分析:原式=答案:C4.若sinx=，则sin2(x-)=____________.思路分

2、析:∵sinx=，∴sin2(x-)=sin(2x-)=-sin(-2x)=-cos2x=2sin2x-1=2×()2-1=.答案:5.已知sin(-α)=，α∈(0，)，则的值为___________.思路分析:∵α∈(0，)，∴-α∈(0，).又∵sin(-α)=，∴cos(-α)=.∴原式=.答案:综合•应用6.已知，则=____________.思路分析:∵，∴原式==.答案:37.已知tan(+θ)=3，求sin2θ-2cos2θ的值.解法一：∵tan(+θ)=3，∴原式=sin2θ-

3、(1+cos2θ)=sin2θ-cos2θ-1=-cos(+2θ)-sin(+2θ)-1=-2cos2(+θ)-2sin(+θ)cos(+θ)=.解法二：∵tan(+θ)=，∴tanθ=∴原式=.8.如图3-1-11，要把半径为R的半圆形材料截成长方体，应怎样截取才能使长方形面积最大？图3-1-11解：设圆心为O，长方形面积为S，∠AOB=α，则AB=Rsinα，OB=Rcosα，S=(Rsinα)·2(Rcosα)=2R2sinαcosα=R2sin2α.故在Rt△AOB中，∵0＜α＜，∴0＜

4、2α＜π.∴当2α=，即α=时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R2.9.如图3-1-12，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进m至D点处测得顶端仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高.图3-1-12思路分析:在Rt△ABE和Rt△ACE中，利用公共的AE和θ、2θ、4θ，表示出BE、CE、DE，进而用AE和θ、2θ、4θ写出BC、CD，而BC、CD的长度已知，通过二者之比可以建立关于θ的方程，利用三角公式化简可得θ的三角

5、函数值，从而求出角θ.解:由已知，BC=30m，CD=m.在Rt△ABE中，BE=AEcotθ；在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ.∴BC=BE-CE=AE(cotθ-cot2θ).同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ).于是，即.而，∴2cos2θ=cos2θ=2θ=30°.∴θ=15°.∴AE=AC=BC=15m.于是θ=15°，建筑物高为15m.回顾•展望10.(2004全国高考)已知α为第二象限角，且sinα=，求的值.思路分析:根据sinα的值和角α的范围可以求

6、出cosα的值，再利用倍角公式和两角和的正弦将三角函数展开计算即得整个式子的值.解:因为sinα=，α为第二象限角，所以cosα=.所以sin2α=2sinαcosα=.由此可得.11.(2006陕西高考,理)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.思路分析:将函数变形为一个三角函数的形式，即可同时解决两个问题.解:(1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2［sin2(x-)-c

7、os2(x-)］+1=2sin［2(x-)-］+1=2sin(2x-)+1,∴T==π.(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+,即x=kπ+,(k∈Z).∴所求x的集合为{x∈R

8、x=kπ+,(k∈Z)}.12.(2006湖南高考,文)已知·cosθ=1,θ∈(0,π),求θ的值.思路分析:利用诱导公式和倍角公式展开，注意角的取值范围.解:由已知条件得,即sinθ-2sin2θ=0.解得sinθ=或sinθ=0.由0＜θ＜π知sinθ=，从而θ=或θ=.