高中数学第一章1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课后训练

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1、1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题1．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数和是(　　)．A．2n＋1B．2n＋1＋1C．2n＋1－1D．2n＋1－22．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)．A．－7B．7C．－28D．283．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)．A．－1B．0C．1D．24．已知展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　)．A．第19项B．第17项C．第17项或第19项D．第18项或第19项5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x)6

2、＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则

3、a0

4、＋

5、a1

6、＋

7、a2

8、＋…＋

9、a6

10、＝(　　)．A．1B．－1C．36D．26二、填空题6．(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为__________．7．(2012安徽安庆模拟，理14)设(－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的

11、比为2∶3.三、解答题9．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．10．设m，n∈N，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.(1)当m＝n＝2013时，f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013，求a0－a1＋a2－a3＋…－a2013的值．(2)若f(x)展开式中x的系数为20，当m，n变化时，试求x2系数的最小值．11.求证：(1)＋2＋…＋＝n·2n－1；(2)＋＋…＋(2n＋1－1)．12．在杨辉三角形中，每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行

12、如下：(1)利用杨辉三角展开(1－x)6；(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001；(3)在杨辉三角形中的哪一行会出现相邻的数，它们的比是3∶4∶5?参考答案1答案：D　解析：令x＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.2答案：B　解析：由已知n为偶数，则＋1＝5，∴n＝8.∴的展开式通项公式为Tr＋1＝＝(－1)r·，令8－＝0，得r＝6，∴常数项为T7＝(－1)6·×28＝7.3答案：B　解析：令x＝1，得展开式中各项系数之和为(2－)8＝1，由Tr＋1＝，令r＝8，得T9＝·20x4＝x4，其系数为1，∴展开式中不含x4的项的系数

13、和为1－1＝0.4答案：A　解析：T10＝()n－9·，由T10为常数，得－9＝0，所以n＝36，故第19项系数最大．5答案：C　解析：由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零．令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36.②∴①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝，①－②得a1＋a3＋a5＝.∴

14、a0

15、＋

16、a1

17、＋

18、a2

19、＋…＋

20、a6

21、＝＝36.6答案：2　解析：令x＝1，得a0＝－2.令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.7答案：－16

22、0x　解析：当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，由已知M·N＝64，∴2n＝64，n＝6.∴第四项T4＝·()3·(－1)3＝－160x.8答案：34　解析：由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2∶3，故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即＝2∶3，所以＝2∶3，∴.∴n＝34.9解：由，得Tr＋1＝，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝a4＝54.所以a＝.10解：(1)当

23、m＝n＝2013时，f(x)＝(1＋2x)2013＋(1＋x)2013，x＝－1，得f(－1)＝(－1)2013＝－1，即a0－a1＋a2－a3＋…－a2013＝－1.(2)由已知＝2m＋n＝20，∴n＝20－2m.∴x2的系数为＝2m2－2m＋(20－2m)(19－2m)＝4m2－41m＋190.当m＝5，n＝10时，f(x)展开式中x2的系数最小，最小值85.11分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的系数固定下来，从而使用二项

24、式系数性质