高中数学2.2直线的方程2.2.2.2直线方程的一般式教案

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1、2.2.2.2直线方程的一般式示范教案教学分析　　　　　通过讨论直线的斜截式方程与二元一次方程的关系，归纳、总结出了结论：关于x、y的二元一次方程都表示一条直线，接着给出了直线的一般式方程的概念．同时，我们还可以得到结论：直线的方程都是关于x，y的二元一次方程，即对于每一条直线都可求出它的方程，而且是二元一次方程．三维目标　　　　　1．掌握直线方程的一般式；了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；培养学生树立辩证统一的观点；培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2．会将直线方程的特

2、殊形式化成一般式；会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力；渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想．重点难点　　　　　教学重点：直线方程的一般式及各种形式的互化．教学难点：归纳出直线的一般式方程．课时安排　　　　　1课时导入新课　　　　　设计1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线的方程呢？这节课我们就来研究这个问题．设计2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形．(1)斜率是1，经过点A(1,8)；(2)在x轴和y轴上的截距分别是－7,

3、7；(3)经过两点P1(－1,6)、P2(2,9)；(4)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件，请学生写出直线方程的“特殊”形式分别为y－8＝x－1、＋＝1、＝、y＝x＋7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合．原来它们的方程化简后均可统一写成：x－y＋7＝0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式．推进新课　　　　　6讨论结果：(1)二元一次方程的形式：Ax＋By＋C＝0.(2)直线y＝kx＋b化为kx－y＋b＝0.直线x＝

4、x1化为x－0·y－x1＝0.因此都能化为二元一次方程的形式，即有以下结论：直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．(3)关于x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，①其中A，B不同时为0.下面分B≠0和B＝0两种情况加以讨论：①当B≠0时，方程①可化为y＝－x－.这是直线的斜截式方程．它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线．②当B＝0时，由于A，B不同时为0，必有A≠0，于是方程①可化为x＝－.它表示一条与y轴平行或重合的直线．根据以上讨论，我们又得到下面的结论：关于x，y的二元一次方

5、程都表示一条直线．(4)直线与二元一次方程的关系：①直线的方程都是关于x，y的二元一次方程；②关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．因此，关于x，y的二元一次方程是直线的方程，我们把方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程．思路1例1已知直线通过点(－2,5)，且斜率为－，求此直线的一般式方程．解：由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，整理，得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.变式训练1．过点A(4，－3)，且斜率为－的直线的一般式方程是______．答案：2x＋3y＋1

6、＝02．过A(1,1)，B(－1,3)的直线的一般式方程是______．答案：x＋y－2＝0例2求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距．解：已知直线方程可化为y＝x＋2.所以直线l的斜率k＝，在y轴上的截距是2.点评：本题主要考查将直线的一般式方程化为斜截式方程．变式训练1．直线x－y＋4＝0的斜率为______，倾斜角＝______.答案：　30°62．已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，求m、n的值．解法一：由截距意义，知直线经过A(－3,0)和Q(0,4)

7、两点，因此有解得解法二：由截距已知，也可将mx＋ny＋12＝0化为截距式得＋＝1.因此有解得6思路2例3设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．(1)l在x轴上的截距为－3；(2)l的倾斜角为135°；(3)直线l与x轴平行．解：(1)由于l在x轴上的截距为－3，则l过点(－3,0)，∴(m2－2m－3)(－3)＝2m－6，解得m＝－或m＝3(舍去)，∴m＝－.(2)由l的倾斜角α＝135°，则斜率k＝tan135°＝－1，∴－＝－1，解得m＝－2

8、，或m＝－1(舍去)．(3)由于l∥x轴，则l的斜率k＝0，∴－＝0解得m＝3或m＝－1(舍去)．点评：本题(1)易错认为m＝3也符合题意，通过(3)可以看出m＝3时，l与x轴平行，此时，l在x轴上不存在截距．变式训练1．直线Ax＋By＋C＝0，经过第一、二、三象限，则(　　)A．AB>0B．AB<0C．AB＝0D．A与B的符号不确定解析：由题意，知直线的倾斜角为锐角，则k＝－>0，则AB<0.答案：B2．已知直线Ax＋By＋C＝0，(1)系数为什么值时