高中数学1.1.7柱锥台和球的体积课堂探究新人教B版必修

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1、1.1.7柱、锥、台和球的体积课堂探究探究一柱体的体积1．柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh．底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝πr2h．2．平行六面体的体积求解是比较常见的，因为平行六面体的六个面都是平行四边形，故可以用任意一组平行的面作为底面，其余面作为侧面．解题时，我们以解直棱柱的体积居多，故在平行六面体中选底面时，以构成直棱柱为首选因素．【典型例题1】(1)如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A．B．C．D．解析：由三视

2、图知，该几何体为平行六面体，由图知高h＝＝．底面积：S＝3×3＝9，所以其体积V＝．答案：B(2)用一块长4m，宽2m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒，如何制作可使铁筒的体积最大？解：①若以矩形的长为圆柱的母线l，则l＝4m，此时圆柱底面周长为2m，即圆柱底面半径为R＝m，所以圆柱的体积为V＝πR2·l＝·4＝(m3)．②若以矩形的宽为圆柱的母线，同理可得V＝(m3)，所以第二种方法可使铁筒体积最大．探究二锥体的体积求锥体的体积常见的方法：(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用

3、底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．【典型例题2】圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为()A．36πB．18πC．45πD．12π解析：V圆锥＝πr2·h，由于r＝3，h＝4(其轴截面如图)，得V＝×π×9×4＝12π．答案：D探究三台体的体积1．台体体积公式适用于棱台和圆台．2．圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离．3．柱体、锥体、台体的体积关系如图所示．【典型例题3】若某几何体的三视

4、图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3解析：由三视图可知该几何体上部分为一长方体，下部分为正四棱台．V＝4×4×2＋(42＋4×8＋82)×2＝(cm3)．答案：B探究四球的体积球的体积的计算常与其他几何体结合，将球的性质、简单几何体的性质融合在一起考查．常见的有内切和外接问题，求解与球有关的切接问题时要认真分析题中已知条件，明确切点或接点的位置，正确作出截面图，再分析相关量间的数量关系．【典型例题4】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为

5、()A．B．C．D．解析：利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图所示，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，所以OM＝＝，即球的半径为．所以V＝＝．答案：B探究五易错辨析易错点：将几何体误认为锥体而致误【典型例题5】如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成了AEFA1B1C1和BB1ECC1F两部分，它们的体积分别为V1，V2，那么V1∶V2＝__________．错解：由已知可知几何体AEFA1B1C1是三棱台，几何体BB1ECC1F是

6、四棱锥．设三棱柱的底面积为S，高为h，则由锥、台的体积公式可得，V1＝＝，V2＝＝．所以V1∶V2＝∶＝7∶3．错因分析：几何体BB1ECC1F不是一个规则的几何体，而错解中将其看成了锥体．正解：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh．因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝，V1＝＝，V2＝Sh－V1＝，故V1∶V2＝7∶5．答案：7∶5