八年级数学下册9.1二次根式和它的性质二次根式的概念学习要点素材新青岛版

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1、二次根式的概念学习要点二次根式是一种特殊的代数式，它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用，为了帮助同学们学好这一知识点，现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点：一、正确理解二次根式的定义同学们已经接触到的象、、…、（a≥0）等式子，这些式子是什么样的一个式子呢？我们把式子（a≥0）叫做二次根式.由此，对于（a≥0）的讨论应注意下面的问题：（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式.而式子就不是二次根式，但式子却又是二次根式.（2）（a≥0）实际上就是非负数a的算术平方根.（3）是二次根式，虽然＝3，但3不是二次根式.因此

2、二次根式指的是某种式子的“外部形态”.如，当a为实数时，、、、都是二次根式，而、都不一定是二次根式.这是因为a是实数时，并不能保证a+10、a2－1是非负数，即a+10、a2－1可以是负数，如当a＜－10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，、不一定是二次根式.二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围由于式子（a≥0）叫做二次根式，它实际上是一个非负的实数的算术平方根的表达式.所以式子中的被开方数或被开方式必须大于或等于零，即式子是一个非负数.如，当x≥3时，式子在实数范围内有意义.这是因为由二

3、次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子在实数范围内有意义.这类问题实质上是当x是什么数时，x－3是非负数，式子有意义.三、能运用二次根式的定义解题我们知道，二次根式的结果是一个非负数，在初中阶段，常见的非负数有三个：a2≥0，≥0，≥0.利用“几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零”的性质解题，在各类考试中屡见不鲜.例1　已知y＝++6，则＝.简析　根据二次根式的被开方数是一个非负数，可得3－x≥0且x－3≥0，即x≤3且x≥3，所以x只能等于3，所以y＝6.故＝＝2.例2　已知+y2+4y+4+

4、＝0，求的值.简析　本题可变形为+(y+2)2+＝0，因为是三个非负数的和为0，所以x－3＝0，y+2＝0，z－1＝0，即x＝3，y＝－2，z＝1，故＝＝3.下面两道题目供同学们自己练习：1、已知实数a满足+＝a，求a－20072的值.2、设等式+＝－在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.3、若实数x、y、a满足+＝+，试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.　　参考答案1，由a－2008≥0，得a≥2008.故已知式可化为a－2007+＝a，

5、所以＝2007，两边平方并整理，得a－20072＝2008.2，由a(x－a)≥0及x－a≥0得a≥0；由a(y－a)≥0及a－y≥0得a≤0，故a＝0，从而已知式化为＝，x＝－y≠0，故原式＝＝.3，由x+y－8≥0，8－x－y≥0，得x+y≥8，x+y≤8.所以8≤x+y≤8，x+y＝8.这时，已知等式即为+＝0.因为≥0，≥0，所以＝0，＝0.从而3x－y－a＝0，x－2y+a+3＝0.这两个等式相加，得4x－3y＝－3.联立x+y＝8和4x－3y＝－3，得解得这时a＝3x－y＝4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者

6、的值，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2＝y2，所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值＝3×4÷2＝6.