八年级数学下册9.1二次根式和它的性质二次根式的概念学习要点素材新青岛版

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1、二次根式的概念学习要点二次根式是一种特殊的代数式,它在实际生活以及其它科学技术中都有着广泛的应用,为了帮助同学们学好这一知识点,现提醒同学们学习时应注意领会以下几个要点:一、正确理解二次根式的定义同学们已经接触到的象、、…、(a≥0)等式子,这些式子是什么样的一个式子呢?我们把式子(a≥0)叫做二次根式.由此,对于(a≥0)的讨论应注意下面的问题:(1)式子只有在条件a≥0时才叫二次根式.而式子就不是二次根式,但式子却又是二次根式.(2)(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根.(3)是二次根式,虽然=3,但3不是二次根式.因此

2、二次根式指的是某种式子的“外部形态”.如,当a为实数时,、、、都是二次根式,而、都不一定是二次根式.这是因为a是实数时,并不能保证a+10、a2-1是非负数,即a+10、a2-1可以是负数,如当a<-10时,a+10<0;又如当0<a<1时,a2-1<0,因此,、不一定是二次根式.二、能运用二次根式的定义确定有关二次根式的字母取值范围由于式子(a≥0)叫做二次根式,它实际上是一个非负的实数的算术平方根的表达式.所以式子中的被开方数或被开方式必须大于或等于零,即式子是一个非负数.如,当x≥3时,式子在实数范围内有意义.这是因为由二

3、次根式的定义可知被开方式x-3≥0,即x≥3,就是说当x≥3时,式子在实数范围内有意义.这类问题实质上是当x是什么数时,x-3是非负数,式子有意义.三、能运用二次根式的定义解题我们知道,二次根式的结果是一个非负数,在初中阶段,常见的非负数有三个:a2≥0,≥0,≥0.利用“几个非负数的和为零,则这几个非负数都为零”的性质解题,在各类考试中屡见不鲜.例1 已知y=++6,则=.简析 根据二次根式的被开方数是一个非负数,可得3-x≥0且x-3≥0,即x≤3且x≥3,所以x只能等于3,所以y=6.故==2.例2 已知+y2+4y+4+

4、=0,求的值.简析 本题可变形为+(y+2)2+=0,因为是三个非负数的和为0,所以x-3=0,y+2=0,z-1=0,即x=3,y=-2,z=1,故==3.下面两道题目供同学们自己练习:1、已知实数a满足+=a,求a-20072的值.2、设等式+=-在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值.3、若实数x、y、a满足+=+,试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个三角形?如果能,请求出该三角形的面积;如果不能,请说明理由.  参考答案1,由a-2008≥0,得a≥2008.故已知式可化为a-2007+=a,

5、所以=2007,两边平方并整理,得a-20072=2008.2,由a(x-a)≥0及x-a≥0得a≥0;由a(y-a)≥0及a-y≥0得a≤0,故a=0,从而已知式化为=,x=-y≠0,故原式==.3,由x+y-8≥0,8-x-y≥0,得x+y≥8,x+y≤8.所以8≤x+y≤8,x+y=8.这时,已知等式即为+=0.因为≥0,≥0,所以=0,=0.从而3x-y-a=0,x-2y+a+3=0.这两个等式相加,得4x-3y=-3.联立x+y=8和4x-3y=-3,得解得这时a=3x-y=4.因为x、y、a中的任意两者的值大小第三者

6、的值,所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个三角形.因为x2+a2=y2,所以长度分别为x、y、a的三条线段能组成一个直角三角形,且两条直角边的长度分别为3、4.所以该三角形的面积值=3×4÷2=6.

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