数学数列笔记整理

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1、等差数列的充要条件：an+1-an=常数{an}为等差数列2an+1=an+an+2{an}为等差数列an=kn+b{an}为等差数列Sn=pn²+qn{an}为等差数列【n∈N+】等差数列的相关性质：①等差数列{an}中，am=an+（m-n）d，变式d=（am-an）/（m-n）②等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，仍为等差数列③等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，若m+n=2p，则am+an=2ap④等差数列{an}中，

2、Sn=an²+bn（其中a=d/2，d≠0）⑤两个等差数列{an}和{bn}的和差的数列{an±bn}仍为等差数列⑥若{an}是公差为d的等差数列，则其子列ak，ak+m，ak+2m也是等差数列，且公差为md；{kan}也是等差数列，且公差为kd求数列的通项an及数列求和求通项方法：1.公式法2.叠加法：例题：若数列{an}，a1=2，且an+1-an=n（n∈N+），求an解：a2-a1=1a3-a2=2a4-a3=3a5-a4=4an-an-1=n-1将之相加，相加之后：an-a1=(n-1)

3、(n-1+1)/2an=2+n(n+1)/23.叠乘法：例题：若数列{an}，a1=2，且an+1/an=n/（n+1）（n∈N+），求an解：a2/a1*a3/a2*a4/a3*······*an/an-1=1/2*2/3*3/4*······*(n-1)/nan/a1=1/nan=2/n4.构造法：①设t构造：例：若数列{an}，a1=2，且an+1=2an+1（n∈N+），求an解：设an+1+t=2（an+t）an+1+t=2an+2tan+1=2an+t(将上面得到的式子，跟题目中的式子

4、对比)得到：t=1将t代入：an+1+1=2(an+1)【此处，将an+1看做一个整体】{an+1}为等比数列an+1=（a1+1）*2^(n-1)an+1=3*2^(n-1)an=3*2^(n-1)-1②除种构造：例：若数列{an}，a1=2，且an+1=2an+2^(n+1)（n∈N+），求an解：an+1/2^(n+1)=2an/2^(n+1)+1an+1/2^(n+1)-an/2^n=1则：{an/2^n}为等差数列an/2^n=a1/2+(n-1)=nan=n*2^n③颠倒构造：例：若数

5、列{an}，a1=2，且an+1=2an/(an+2)(n∈N+)，求an解：1/an+1=(an+2)/2an=1/2+1/an1/an+1-1/an=1/2则：{1/an}为等差数列1/an=1/a1+(n-1)*1/2=n/2an=2/n5.利用an={Sn-Sn-1（n>1）S1（n=1）例：若数列{an}前n项和Sn=2n^2+3n+1，求an解略去6.利用周期求：例：若数列{an}，a1=2，且an+1=1-1/an（n∈N+），求a2011解法：手写，求前几项的值，直到出来与前面某项

6、重复的数值此种方法应用于：an，n的数值很大的题目求和方法1.公式法题目略去2.倒序相加法题目略去3.错位相减法题目略去4.裂项相消法题目略去5.分组求和法：把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和例：1+1，1/a+4，1/a^2+7，···，1/a^(n-1)+3n-2，求各项之和解：Sn=[1+1/a+1/a^2+···+1/a^(n-1)]+[1+4+7+···+(3n-2)]可以看出，前一部分是等比数列，公比为1/a；后一部分是等差数列，公差为3Sn=1(1-1/a^n)

7、/(1-1/a)+n*(1+3n-2)/2化简之即得6.一些结论:①1^2+2^2+···+n^2=1/6*n(n+1)(2n+1)②1^3+2^3+3^3+···+n^3=1/4[n(n+1)]^2③Cn0+Cn1+Cn2+···+Cnn=2^n补充:无穷递缩等比数列：

8、q

9、<1,lim(n→∞)Sn=a1/1-q例：a1+a2=2,a2+a3=1，求lim(n→∞)Sn解：一种简介的方法∵an为等比数列∴a1+a2,a2+a3,a3+a4···都是等比数列这个新数列的公比为qq也是原数列的公比

10、根据题目，可以得到q=1/2∴a2=a1+a1/2=2∴a1=4/3∴lim(n→∞)Sn=(4/3)/(1-1/2)=8/3