2019_2020学年高中数学第5章正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）单调性与最值讲义新人教A版

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1、第2课时　单调性与最值学习目标核心素养1.掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.2.结合函数图象，培养直观想象素养.解析式y＝sinxy＝cosx图象值域[－1,1][－1,1]单调性在＋2kπ，k∈Z上单调递增，在＋2kπ，k∈Z上单调递减在

2、[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减最值x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1思考：y＝sinx和y＝cosx在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.1．函数y＝－cosx在区间上是(　　)A．增函数　　　B．减函数C．先减后增函数D．先增后减函

3、数C　[因为y＝cosx在区间上先增后减，所以y＝－cosx在区间上先减后增．]2．函数y＝sinx的值域为________．　[因为≤x≤，所以≤sinx≤1，即所求的值域为.]3．函数y＝2－sinx取得最大值时x的取值集合为________．　[当sinx＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，此时x＝2kπ－，k∈Z.]4．若cosx＝m－1有意义，则m的取值范围是________．[0,2]　[因为－1≤cosx≤1，要使cosx＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]正弦函数、余弦

4、函数的单调性【例1】　(1)函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．[思路点拨]　(1)确定a的范围→y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数→y＝cosx在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sinu的单调递增区间．(1)(－π，0]　[(1)因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条

5、件，故a∈(－π，0]．](2)[解]　令u＝＋2x，函数y＝sinu的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A

6、>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为________．(2)已知函数y＝cos，则它的单调减区间为________．(1)，　(2)(k∈Z)　[(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋(k∈Z)．又x∈，所以函数y＝sin，x∈的单调递减区间为－，－，，.(2)y

7、＝cos＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．]利用三角函数的单调性比较大小【例2】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin与sin；(2)sin196°与cos156°；(3)cos与cos.[思路点拨]　→[解]　(1)∵－＜－＜－＜，∴sin＞sin.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°＜16°＜66°＜9

8、0°，∴sin16°＜sin66°，从而－sin16°＞－sin66°，即sin196°＞cos156°.(3)cos＝cosπ＝cos＝cosπ，cos＝cosπ＝cos＝cos.∵0＜＜π＜π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cosπ＜cos，即cos＜cos.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π