2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式3排序不等式学案新人教A版

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1、三　排序不等式学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．(重点、难点)教材整理1　顺序和、乱序和、反序和的概念阅读教材P41～P42“探究”以上部分，完成下列问题．设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋anbn为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋ancn为乱序和，相反顺序相乘所

2、得积的和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1称为反序和．教材整理2　排序不等式阅读教材P42～P44，完成下列问题．设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b2＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和.用排序不等式证明不等式(字母大小已定)【例1】　已知a，b，c为正数，a≥b≥

3、c，求证：(1)≥≥；(2)＋＋≥＋＋.[精彩点拨]　由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．[自主解答]　(1)∵a≥b>0，于是≤.又c>0，∴>0，从而≥，同理，∵b≥c>0，于是≤，∴a>0，∴>0，于是得≥，从而≥≥.(2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，∴≥≥，a2≥b2≥c2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，故＋＋≥＋＋.利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．本例题中条件

4、不变，求证：＋＋≥＋＋.[证明]　∵a≥b≥c≥0，∴a5≥b5≥c5，≥≥＞0.∴≥≥，∴≥≥，由顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋，∴＋＋≥＋＋.字母大小顺序不定的不等式证明【例2】　设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋.[精彩点拨]　(1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．[自主解答]　不妨设0

5、·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·.将上面两式相加得＋＋≤2，将不等式两边除以2，得＋＋≤＋＋.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．2．设a1，a2，…，an为正数，求证：＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.[证明]　不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则a≤a≤…≤a，≥≥…≥.由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以＋＋…＋＋

6、≥a·＋a·＋…＋a·，即＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.利用排序不等式求最值【例3】　设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求的最小值(A，B，C用弧度制表示)．[精彩点拨]　不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．[自主解答]　不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，将以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，当且

7、仅当A＝B＝C＝时，等号成立．∴≥，即的最小值为.1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．[解]　不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，≥≥.由排序不等式，乱序和≥反序和．＋＋≥x2·＋y2·＋z2·＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．故t＝＋＋的最小值为1.利用排序不等式求解简单的实际问题【例4】　若某网吧的3台电脑同时出现了

8、故障，对其维修分别需要45min,25min和30min，每台电脑耽误1min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[精彩点拨]　这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1min时，三台电脑等候维修的总