2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程33.1双曲线及其标准方程学案北师大版

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1、3.1　双曲线及其标准方程学习目标：1.掌握双曲线的定义及其应用．(重点)　掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点)　会求双曲线的标准方程．(易混点)1．双曲线的定义我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

2、F1F2

3、)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．思考：定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<

4、F1F2

5、”？[提示]　(1)双曲线的定义中若没有“绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“绝对值”不能去掉．在双曲线的定义中，条件0<

6、2a<

7、F1F2

8、不应忽视，(2)若2a<

9、F1F2

10、时，动点的轨迹是双曲线；若2a＝

11、F1F2

12、时，动点的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；若2a>

13、F1F2

14、时，轨迹不存在．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

15、F1F2

16、＝2ca，b，c的关系c2＝a2＋b21.判断正误(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　)(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b

17、.(　　)(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．已知两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　)A．

18、

19、PF1

20、－

21、PF2

22、

23、＝5　B．

24、

25、PF1

26、－

27、PF2

28、

29、＝6C．

30、

31、PF1

32、－

33、PF2

34、

35、＝7D．

36、

37、PF1

38、－

39、PF2

40、

41、＝0A　[A中，∵

42、F1F2

43、＝6，∴

44、

45、PF1

46、－

47、PF2

48、

49、＝5<

50、F1F2

51、，故动点P的轨迹是双曲线；B中，∵

52、

53、PF1

54、－

55、PF2

56、

57、＝6＝

58、F1F2

59、，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C

60、中，∵

61、

62、PF1

63、－

64、PF2

65、

66、＝7>

67、F1F2

68、，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵

69、

70、PF1

71、－

72、PF2

73、

74、＝0，即

75、PF1

76、＝

77、PF2

78、，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.]3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)A.B.C.D.C　[将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，∴c＝＝，∴右焦点坐标为.]4．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．－＝1或－＝1　[∵a＝5，c＝7，∴b2＝24所以该双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.]用待定系数法求双

79、曲线的标准方程【例1】　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．[解]　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一：设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线方程为－＝1.法二：设双曲线方程为－＝1(－4

80、程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2

81、线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.综上，双曲线的标准方程为－＝1.法二：设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．∵P，Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．则有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.法二：∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线方程为－＝1(0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5，2)，∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍

82、去)．∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.(3)椭圆＋＝1的焦点坐