2019_2020学年新教材高中数学课时分层作业9充要条件（含解析）新人教B版必修第一册

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1、课时分层作业(九)　充要条件(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C　[由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.]2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件A　[当a＝3时，A＝{1,3}，所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B

2、时，a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3.故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选A.]3.已知集合A＝{x

3、

4、x

5、≤4，x∈R}，B＝{x

6、x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　[因为

7、x

8、≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x

9、－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B.]4．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)A．ab＝0　　　B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0D　[a2＋b2＞0，则a，b

10、不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.]5.“xy≥0”是“

11、x＋y

12、＝

13、x

14、＋

15、y

16、”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]　A二、填空题6．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．充要　[因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]7

17、．若p：x－3<0是q：2x－3

18、m＞3}　[由x－3<0得x<3，由2x－3

19、x<3}，所以(m＋3)＞3，解得m＞3.]8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．乙　[对于图甲，开关S1闭合灯亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，∴A是B的充分不必要条件．对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，∴A

20、是B的充要条件．对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合，∴A是B的必要不充分条件．对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，∴A是B的既不充分也不必要条件．]三、解答题9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解]　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足⇒0＜a≤.综上，若方程至少有一个负实根，则a≤.反之，若a≤，则方程至少有一个负实根．10．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充

21、要条件是ac<0.[证明]　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，∵方程有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0.综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.[等级过关练]1.若非空集合A

22、，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　)A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件B　[由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈CD/⇒x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]2．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义

23、它的倾斜度为l＝max，，·min，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　　)A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，∴l＝max·min＝1×1＝1.∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．∵a≤b≤c，∴max＝.又∵l＝1，∴min＝，即＝或＝，得b＝c或b＝a，可知△A