2019_2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数（第1课时）根式讲义新人教A版必修第一册

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1、第1课时　根式学习目标核心素养1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数Rn为偶数±[0，＋∞)(3)根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，＝a.(2)n为偶数时，＝

2、a

3、＝(3)＝0.

4、(4)负数没有偶次方根．思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.1.的运算结果是(　　)A．3　　　　　B．－3C．±3D．±A　[＝＝3.]2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)A.B.C.D.C　[当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．]3．下列说法正确的个数是(　　)①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．A．1　　B．2　　　　C．3　　　　D．4B　

5、[①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.]4．若x3＝－5，则x＝________.－　[若x3＝－5，则x＝＝－.]n次方根的概念问题【例1】　(1)27的立方根是________．(2)已知x6＝2019，则x＝________.(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．(1)3　(2)±　(3)[－3，＋∞)　[(1)27的立方根是3.(2)因为x6＝2019，所以x＝±.(3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]n次方根的个数及符号的确定(1)n的奇偶性决定了n次

6、方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：①；②；③；④，其中无意义的有(　　)A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．0个A　[①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.]利用根式的性质化简求值【例2】　化简下列各式：(1)＋()5；(2)＋()6；(3).[解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝

7、－2

8、＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝

9、x＋2

10、＝正确区分与()n(1)()n已暗

11、含了有意义，据n的奇偶性可知a的范围；(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．2．若＝3a－1，求a的取值范围．[解]　∵＝＝

12、3a－1

13、，由

14、3a－1

15、＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥.故a的取值范围为.有限制条件的根式的运算[探究问题]1．当a>b时，等于多少？提示：当a>b时，＝a－b.2．绝对值

16、a

17、的代数意义是什么？提示：

18、a

19、＝【例3】　(1)若x<0，则x＋

20、x

21、＋＝________.(2)若－3

22、x

23、及，再化简．(2)结合－3

24、－1　[∵x<0，∴

25、x

26、＝－x，＝

27、x

28、＝－x，∴x＋

29、x

30、＋＝x－x－1＝－1.](2)[解]　－＝－＝

31、x－1

32、－

33、x＋3

34、，当－3

35、x－1

36、－

37、x＋3

38、.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问

39、题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.1．注意同()n的区别．前者求解时，要分n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a.2．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．1．思考辨析(1)实数a的奇次方根只有一个．(　　)(2)当n∈N*时，()n＝－2.(　　)(3)＝π－4.(　　)[答

40、案]　(1)√　(2)×　(3)×2．已知m10＝2，则m等于(　　)A.　　　B．－　　　C.　　　D．±D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．