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《2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 疑难规律方法 Word版含答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学新学案同步精致讲义选修1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征,揭示了曲线存在的几何性质．有些问题,如果恰当运用定义来解决,可以起到事半功倍的效果,下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1 线段AB＝4,PA＋PB＝6,M是AB的中点,当P点在同一平面内运动时,PM的长度的最小值是________．解析 由于PA＋PB＝6>4＝AB,故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点,A,B为焦点的椭圆,且a＝3,c＝2,∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.答案 2．求动点坐标例2 椭圆＋＝1上到两个焦点F1,F2的距离之积最大的点的坐标是________．
2、解析 设椭圆上的动点为P,由椭圆的定义可知PF1＋PF2＝2a＝10,所以PF1·PF2≤2＝2＝25,当且仅当PF1＝PF2时取等号．由解得PF1＝PF2＝5＝a,此时点P恰好是椭圆短轴的两端点,即所求点的坐标为(±3,0)．答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF1＋PF2＝10”,即两个正数PF1,PF2的和为定值,结合基本不等式可求PF1,PF2乘积的最大值,结合图形可得所求点P的坐标．苏教版数学新学案同步精致讲义选修3．求焦点三角形面积例3 如图所示,已知椭圆的方程为＋＝1,若点P在第二象限,且∠PF1F2＝120°,求△PF1F2的面积．解 由
3、已知,得a＝2,b＝,所以c＝＝1,F1F2＝2c＝2.在△PF1F2中,由余弦定理,得PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2·cos120°,即PF＝PF＋4＋2PF1,①由椭圆定义,得PF1＋PF2＝4,即PF2＝4－PF1.②将②代入①,得PF1＝.所以S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin120°＝××2×＝,即△PF1F2的面积是.点评 在△PF1F2中,由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF1,PF2的方程组,消去PF2可求PF1.从以上问题,我们不难发现,凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题,我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由
4、椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于4个不同的点,顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为________．苏教版数学新学案同步精致讲义选修解析 如图所示,设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0),焦距为2c,由题意知∠F1AF2＝90°,∠AF2F1＝60°.∴AF2＝c,AF1＝2c·sin60°＝c.∴AF1＋AF2＝2a＝(＋1)c.∴e＝＝＝－1.答案 －1点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质,并结合椭圆的定义,化难为易,使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2 椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦
5、点为F1(－c,0),A(－a,0),B(0,b)是两个顶点,如果F1到直线AB的距离为,则椭圆的离心率e＝________.解析 如图所示,直线AB的方程为＋＝1,即bx－ay＋ab＝0.∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为,∴＝,∴
6、a－c
7、＝,即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.又∵b2＝a2－c2,整理,得5a2－14ac＋8c2＝0.两边同除以a2并由e＝知,8e2－14e＋5＝0,解得e＝或e＝(舍去)．答案 苏教版数学新学案同步精致讲义选修3．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中,已知椭圆＋＝1(a>b>0),圆O的半径为a,过点P作
8、圆O的两条切线,且这两条切线互相垂直,则离心率e＝________.解析 如图所示,切线PA,PB互相垂直,PA＝PB.又OA⊥PA,OB⊥PB,OA＝OB,则四边形OAPB是正方形,故OP＝OA,即＝a,∴e＝＝.答案 4．综合类例4 设M为椭圆＋＝1上一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,如果∠MF1F2＝75°,∠MF2F1＝15°,求椭圆的离心率．解 由正弦定理得＝＝＝＝,∴e＝＝＝＝.点评 此题可推广为若∠MF1F2＝α,∠MF2F1＝β,则椭圆的离心率e＝.苏教版数学新学案同步精致讲义选修3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、
9、最值等问题时,若能灵活应用双曲线的定义,能把大题化为小题,起到事半功倍的作用．下面举例说明．1．求动点轨迹例1 动圆C与两定圆C1：x2＋(y－5)2＝1和圆C2：x2＋(y＋5)2＝16都外切,求动圆圆心C的轨迹方程．解 设动圆圆心为C(x,y),半径为r,因为动圆C与两定圆相外切,所以即CC2－CC1＝310、最后求出a,b即可写出轨
