天津市静海县第一中学2018学年高三上学期期末终结性检测数学试题（附加题）

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1、静海一中2017-2018第一学期高三数学期末提高卷1.(15分)设椭圆C：，定义椭圆C的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形。　（I）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（II）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点。（i）证明∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围。2.（15分）已知函数，其中为常数．（Ⅰ）若的图像在处的切线经过点（3,4），求的

2、值；（Ⅱ）若，求证：；（Ⅲ）当函数存在三个不同的零点时，求的取值范围．静海一中2017-2018第一学期高三数学期末提高卷答案1.(15分)设椭圆C：，定义椭圆C的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形。（I）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（II）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点。（i）证明∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围。1.解：（

3、Ⅰ）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以………1分又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以故椭圆的方程为，……………3分“相关圆”的方程为……………4分（Ⅱ）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，则所以……………5分当直线的斜率存在时，设其方程设为，设联立方程组得,即,…………6分△=,即……………7分因为直线与相关圆相切，所以……………8分为定值……………9分（ii）由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围当直线AB的斜率不存在时，由

4、（i）知……………10分因为……………11分,①时为所以,所以,所以当且仅当时取”=”……………12分②当时,．

5、AB

6、的取值范围为……………13分面积的取值范围是……………14分2.（15分）已知函数，其中为常数．（Ⅰ）若的图像在处的切线经过点（3,4），求的值；（Ⅱ）若，求证：；（Ⅲ）当函数存在三个不同的零点时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.∴当时，（Ⅲ）①∴至多只有一个零点，不合题意；②∴至多只有一个零点，不合题意；①此时，在上递减，上递增，上递减，所以至多有三个零点.因为在递

7、增，所以，又因为，所以，使得，又，所以恰有三个不同零点：，所以函数存在三个不同的零点时，的取值范围是.