2020届高考数学课时跟踪练（十五）利用导数研究函数的极值、最值（基础课）理（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪练(十五)A组　基础巩固1.(2019·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)①f(b)>f(a)>f(c)；②函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值；③函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；④函数f(x)的最小值为f(d)．A．③B．①②C．③④D．④解析：由导函数图象可知在(－∞，c)，(e，＋∞)上，f′(x)>0，在(c，e)上，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减，所以f(a)

2、取得极大值，在x＝e处取得极小值，函数f(x)没有最小值．答案：A2．(2019·豫南九校质量考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为(　　)A．4B．2或6C．2D．6解析：因为f(x)＝x(x－c)2，所以f′(x)＝3x2－4cx＋c2，又f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，所以f′(2)＝12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6，当c＝2时，f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值；当c＝6时，f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值．所以c＝2.答案：C3．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)A．1－eB．－1C．－e

3、D．0解析：因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.答案：B4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则(　　)A．a<－1B．a>－1C．a>－D．a<－解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.因为函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，因为x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1.答案：A5．(2019·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则

4、称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)A．2折函数B．3折函数C．4折函数D．5折函数解析：f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.易知x＝－2是f(x)的一个极值点，又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．又e－2≠3(－2)＋2＝－4.所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．答案：C6．函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最大值是________．解析：f′(x)＝e－x

5、－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，得x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，所以f(1)＝为最大值．答案：7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值为________．解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.答案：－48．已知y＝f(x)是奇函

6、数，当x∈(0，2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于________．解析：由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a＝0，得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0；当x＞时，f′(x)＜0.所以f(x)max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1.答案：19．(2018·天津卷选编)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值．解：(

7、1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2.故f′(x