浅谈用待定系数法求递推数列的通项

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1、浅谈用待定系数法求递推数列的通项——湖北省潜江市总口中学罗先礼邮政编码：433134手机：13451147812求数列通项公式的方法灵活多样，特别是对给定的递推公式求通项公式，观察，分析推理能力要求较高，通常可以对递推公式进行变换，转化成特殊数列（等差数列或等比数列）来求解，常见的方法有观察法，公式法，累乘法，累差法，选加法和Sn公式法，但对比较复杂的递推公式，用上述方法难以求出其通项。而运用待定系数法变换递推公式中的某一项就是一种重要的转化方法。下面结合我平时教学将用待定系数法求数列的通项归纳为以下几种类型：类型1：an+1＝man+c(m≠1,mc≠0)例1：已知数列{an}中，a1=1，

2、an+1=2an+3，求数列{an}的通项an分析：这是一个递推公式求数列的通项公式，这个递推公式与我们刚学过的等差数列和等比数列有没有一定的联系呢？若将递推公式的两边同时加上3，上式变为an+1+3=2(an+3)，且a1+3=4，则数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，an+3＝4×2n－1=2n+1,∴an=2n+1－3说明：这个题目通过对常数3的分解，进行适当的组合，可得到一个新的等比数列{an+3}，从而达到解决问题的目的。一般地，若一个数列的首项为a1，且an+1=man+c（m≠1,mc≠0），用待定系数法设an+1+k=m(an+k)，展开得an+1=man+mk－k

3、与递推公式an+1=man+c比较得mk－k=c，则k=∴原递推公式可化为an+1+=m(an+),则数列{an+}是首项为a1+，公比为m的等比数列，求出这个等比数列的通项就可以求出原数列{an}的通项公式。例2：数列{an}满足a1=1，3an+1+an－6=0，求数列{an}的通项公式an分析：由3an+1+an－6=0得an+1=－an+2，设an+1+k=－(an+k)，展开比较得k=－,∴数列{an－}是首项为－，公比为－的等比数列，∴an－=－×(－)n－1∴an=－×(－)n－1小结：若一个数列相邻两项之间存在线性关系，则由这个递推公式用待定系数法一定可以推出一个新的等比数列，

4、求出新的等比数列的通项，从而就可求出原数列的通项公式。类型2：an+1=man+pn+q（m≠1且m≠0，p≠0）若将类型1中的常数c改为项数n的一次式即pn+q，能否继续用待定系数法求其通项呢？如：例3：在数列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+2n－1，求数列{an}的通项公式an分析：若c是常数可推出{an+k}为等比数列，类比猜想以上递推公式是否可推出数列{an+An+B}为等比数列呢？设an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B)，展开得an+1=2an+An+B－A，与递推公式比较得A＝2，B-A=－1∴B=1,因此原递推公式可化为an+1+2(n+1)+1=2

5、(an+2n+1)，故数列{an+2n+1}是首项为4，公比为2的等比数列。∴an+2n+1＝4×2n－1=2n+1，∴an=2n+1－2n－1。一般地，若一个数列的首项为a1，且an+1=man+pn+q（m≠0且m≠1,p≠0）用待定系数法由递推公式可推出an+1+A(n+1)+B=m(an+An+B)，得出数列{an+An+B}为等比数列，求出其通项，从而可求出原数列的通项公式an。类型3：an+1=man+pn2+qn+r(m≠0且m≠1,p≠0)若将类型1中的常数c改为项数n的二次式pn2+qn+r,能否用待定系数法求其通项呢？如：例4：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2a

6、n+3n2+4n+5，求数列{an}的通项公式an分析：类比类型2用待定系数法设an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)展开得an+1=2an+xn2+(y－2x)n+z－x－y与递推公式比较得x=3x=3y－2x=4∴y=10z－x－y=5z=18∴an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)故数列{an+3n2+10n+18}是以a1+3×12+10×1+18=32为首项,以2为公比的等比数列,则an+3n2+10n+18=32×2n-1=2n+4，∴an=2n+4－3n2－10n－18。一般地，若数列的首项为a1，且an

7、+1=man+pn2+qn+r（m≠0且m≠1，p≠0）用待定系数法可将递推公式分解为an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=m(an+xn2+yn+z)，从而得到数列{an+xn2+yn+z}是以a1+x+y+z为首项，以m为公比的等比数列，从而使问题得以解决。类型4：an+1=man+P·qn（mpq(m－1)(q－1)≠0且m≠q）若将类型1的常数c改为项数n的指数式P·qn，又如何用待