二次函数 抛物线

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1、二次函数抛物线（一）1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解

2、析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点

3、（0，）：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实

4、数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由

5、于、是方程的两个根，故(二)一.二次函数解析式有三种：（1）一般式（2）顶点式；顶点（3）双根式；是图象与x轴交点坐标。二.二次函数图象：抛物线分布象限，可能在两个象限（1），三个象限（2），四个象限（3）。三.抛物线与抛物线形状、大小相同，只有位置不同。四.描点法画抛物线了解开口、顶点、对称轴、最值。（1）a决定开口：开口向上，开口向下。表示开口宽窄，越大开口越窄。（2）顶点，当时，y有最值为。（3）对称轴（4）与y轴交点（0，c），有且仅有一个（5）与x轴交点A（），B（），令则。①△＞0，有，两交点A、B。②△＝0，有，一个交点。③△

6、＜0，没有实数与x轴无交点。五.配方可得向右（）或向左（）平移个单位，得到，再向上向下平移个单位，便得，即。六.五点法作抛物线（1）找顶点，画对称轴。（2）找图象上关于直线对称的四个点（如与坐标轴的交点等）。（3）把上述五个点连成光滑曲线。七.掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。判别式二次函数（）无实根一元二次或不等于的实数全体实数不等式空集空集