2019_2020学年高中数学课时分层作业9空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理北师大版

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1、课时分层作业(九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数为(　　)A．1　　　　　　　B．2C．3D．4D　[空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量，，共面，则A

2、、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．]2．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y等于(　　)A．2B．－2C．1D．0D　[∵m与n共线，∴xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．∴∴∴x＋y＝0.]3．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)A．x＝1，y＝B．x＝，y＝1C．x＝1，y＝D．x＝1，y＝D　[＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝.]4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3

3、，d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为(　　)A．，－1，－B．，1，C．－，1，－D．，1，－A　[∵a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3∴d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3又∵d＝e1＋2e2＋3e3∴解得故选A.]5．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)A.a－b＋cB.a－b－cC.a－b＋cD.a－b＋cC　[∵在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正

4、方形，E为PD的中点，＝a，＝b，＝c，∴＝(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋＝－＋(－)＋(－)＝－＋＋＝a－b＋c.故选C.]二、填空题6．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．(8，3，12)　[由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)．]7．在直三棱柱ABOA1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的

5、中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，的坐标是________，的坐标是________．(－2，－1，－4)　(－4，2，－4)　[＝－＝－－－＝－2i－j－4k，＝＋＋＝－4k－4i＋2j.∴＝(－2，－1，－4)，＝(－4，2，－4)．]8．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________．　[如图所示，有＝＋＋＝＋＋(－1)·.又∵＝x·＋2y·＋3z·，∴解得∴x＋y＋z＝1＋－＝.]三、解答题9．已知在正四棱锥PABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图，以O为坐标原点，

6、分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．[解]　设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量．因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以＝i＋j，所以向量的坐标为(1，1，0)，即点B的坐标为(1，1，0)．同理可得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)．又点P在z轴上，所以＝2k.所以向量的坐标为(0，0，2)，即点P的坐标为(0，0，2)．因为F为侧棱PB的中点，所以＝(＋)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k，所以点F的坐标为

7、.同理点E的坐标为.故所求各点的坐标分别为A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，2)，E，F.10．如图所示，已知正四面体的棱长为1，点E、F分别是OA、BC的中点，选择适当的基底：(1)表示，并求出

8、

9、；(2)计算·，并求出〈，〉．[解]　设＝a，OB＝b，＝c，则

10、a

11、＝

12、b

13、＝

14、c

15、＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，∴a·b＝a·c＝b·c＝.(1)＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c＝－(a－b－c)则有

16、

17、＝＝＝＝.(2)∵＝－＝c－a＝－(a－c)，∴·＝(a－b－c)·(a－c)＝(a2＋c2