2019_2020学年高中数学课时分层作业7圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程北师大版选修

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1、课时分层作业(七)　(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有(　　)A．0个　　B．1个C．2个D．3个[解析]　曲线即x2＋y2＝4，由得2x2－2x－3＝0.这里Δ>0，故有2个公共点．[答案]　C2．椭圆的长轴长和短轴长分别为(　　)A．3　2B．6　2C．3　4D．6　4[解析]　由方程可知a＝3，b＝2，∴2a＝6,2b＝4.[答案]　D3．直线3x－4y－9＝0与圆(φ为参数)的位置关系是(　　)A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但不过圆心[解析]　圆(φ为参数)的普通方程为x2＋y2

2、＝4，则圆心(0,0)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝＜2，又3×0－4×0－9＝－9≠0，故选D．[答案]　D4．x，y∈R且满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值是(　　)A.B．10C．9D．5＋2[解析]　设(α为参数)，则x－2y＝1＋cosα＋4－2sinα＝5sin(α－φ)＋5，故(x－2y)max＝10.[答案]　B5．下列双曲线中，与双曲线(φ为参数)的离心率和渐近线都相同的是(　　)A.－＝1B．－＝－1C.－x2＝1D．－x2＝－1[解析]　将双曲线(α为参数)化为普通方程为－y2＝1,其渐近线方程为y＝±x，离心

3、率为e＝，经验证知B正确．[答案]　B二、填空题6．圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，那么它的参数方程为________．[解析]　把ρ＝4cosθ化为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝2.这里圆心为(2,0)，半径为2，所以它的参数方程为(θ为参数)．[答案]　(θ为参数)7．直线(t为参数)与曲线(α为任意实数)的交点个数为________．[解析]　消参后，直线为x＋y＝1，曲线为圆x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线的距离为，小于半径3，所以直线与圆相交，因此，交点个数为2.[答案]　28．对于任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤φ＜2π)恒

4、有公共点，则b的取值范围是________．[解析]　椭圆可化为＋＝1.把y＝x＋b代入得，5x2＋2bx＋b2－16＝0，Δ＝4b2－20(b2－16)≥0，解得－2≤b≤2.[答案]　[－2，2]三、解答题9．已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．[解]　依题意，a≥(4x＋3y)max即可．由于圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，参数方程为(θ∈R)．于是点M的坐标为(－1＋cosθ，sinθ)，∴4x＋3y＝－4＋4cosθ＋3sinθ＝－4＋5sin(θ＋φ)．其中，tanφ＝，角

5、φ的终边过点(3,4)，于是当sinθ＝，cosθ＝时，(4x＋3y)max＝1.此时，点M的坐标为.所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．10.如图，求椭圆＋＝1的内接矩形中，面积最大的矩形的长和宽及其最大面积．[解]　已知椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，设P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，则P点的坐标是P(3cosφ，2sinφ)，内接矩形面积为S＝4xy＝4×3cosφ·2sinφ＝12sin2φ.当sin2φ＝1，即φ＝45°时，面积S有最大值12，这时x＝3cos45°＝，y＝2sin45°＝.故面积最大的内接矩形的长为3，宽为2，最大

6、面积为12.[能力提升练]1．设P(x，y)为椭圆(x－1)2＋＝1上的一点，则x＋y的取值范围是(　　)A.B．RC.D．[解析]　设则x＋y＝1＋cosα＋sinα＝1＋sin(α＋φ)，∴1－≤x＋y≤1＋.[答案]　A2．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]　设椭圆上一点P1的坐标为(4cosθ，3sinθ)，θ∈，如图所示，则SP1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1＝×4×3sinθ＋×3×4cosθ＝6(sinθ＋cosθ)＝6sin.当θ

7、＝时，SP1AOB有最大值为6.所以S△ABP1≤6－S△AOB＝6－6<4.故在直线AB的右上方不存在点P使得△PAB的面积等于4，又S△AOB＝6>4，所以在直线AB的左下方，存在2个点满足到直线AB的距离为，使得S△PAB＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB的面积等于4.[答案]　B3．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程为________．[解析]　把y＝tx代入圆的方程得x2＋t2x2－4tx＝0，当x＝0时，y＝0.当x≠0时，x＝，由y＝tx得y＝，故(t为参数)．[答案]　(t为参数)4．如图，已知椭圆＋y2＝1上任一

8、点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点．求证：

9、