2019_2020学年高中数学第2章数列2.1.2数列的递推公式（选学）学案新人教B版必修5

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1、2.1.2　数列的递推公式(选学)学习目标核心素养1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)1.通过数列递推公式的学习，培养学生的逻辑推理的素养．2．通过递推公式的应用学习，提升学生的数据分析的素养.1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：由数列的递推公式能否求出数列的项？[提示]　能，但是要逐项求．2．数列递推公式与通项公式的

2、关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式1．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于(　　)A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9C　[因为an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.]2．已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，则

3、a4＝________.4　[依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝a2＝3；当n＝4时，a4＝a3＝4.]3．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a5＝______________.3　[因为a1＝－，an＋1＝1－，所以a2＝1－＝1＋2＝3，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，a5＝1＋2＝3.]由递推关系写数列的项【例1】　(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2018＝2，则a2019＝(　　)A．－　B．C．－D．(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　)A．

4、31B．32C．61D．62(1)B　(2)A　[(1)由anan＋1＝1－an＋1，得an＋1＝，又∵a2018＝2，∴a2019＝，故选B．(2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.]由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面

5、的项的形式，如an＋1＝.1．已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．[解]　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝.故该数列的前5项为1，，，，.数列的最大(小)项的求法【例2】　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．[解]　法一：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)·n＝n·，当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9

6、时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a9＝a10＝.法二：设ak是数列{an}的最大项．则即整理得得9≤k≤10，所以k＝9或10，即数列{an}中的最大项为a9＝a10＝.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N＋且k≥2都成立，解不等式组即可．2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)

7、数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[解]　(1)由n2－5n＋4<0，解得1