2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.1.2余弦定理学案新人教B版必修5

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1、1.1.2　余弦定理学习目标核心素养1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2．掌握正、余弦定理的综合应用．(难点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1.借助余弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养．2．通过余弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1．余弦定理(1)三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．①已知三边，求三角

2、．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？[提示]　是．2．余弦定理的变形(1)余弦定理的变形：cosA＝；cosB＝；cosC＝.(2)利用余弦定理的变形判定角：在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔∠C为直角；c2>a2＋b2⇔∠C为钝角；c2

3、c＝3k(k>0)．则有cosC＝＝.]2．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则b为(　　)A．5　　　　　　　　　B．8C．5或－8D．－5或8B　[由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.因为b>0，所以b＝8.]3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则∠B＝________.60°　[cosB＝＝＝，∠B＝60°.]4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________.120°　[∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，

4、∴cosA＝＝＝－，又∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝120°.]已知两边及一角解三角形【例1】　已知△ABC，根据下列条件解三角形：a＝，b＝，∠B＝45°.[解]　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB．∴2＝3＋c2－2·c．即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.当c＝时，由余弦定理，得cosA＝＝＝.∵0°<∠A<180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝75°.当c＝时，由余弦定理，得cosA＝＝＝－.∵0°<∠A<180°，∴∠A＝120°，∠C＝15°.故c＝，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝，∠A＝120°，∠C＝1

5、5°.已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角．则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，∠C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c．[解]　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－

6、2abcosC＝52＋32－2×5×3×＝16.∴c＝4，即第三边长为4.已知三边或三边关系解三角形【例2】　(1)已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的各角度数；(2)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．[解]　(1)由余弦定理得：cosA＝＝＝，∴∠A＝60°.cosB＝＝＝，∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.(2)∵c>a，c>b，∴∠C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－，∵0°<∠C<1

7、80°，∴∠C＝120°.∴△ABC的最大内角为120°.1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角∠A等于(　　)A．30°　　B．60°C．120°D．150°B　[∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，∴∠A＝60°.]正、余弦

8、定理的综合应用[探究问题]1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？[提示]　设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝2RsinA，b＝2Rsi