高中数学第5章两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第4课时）二倍角的正弦、余弦、正切公式讲义新人教A版

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1、第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)1.通过公式的推导，培养逻辑推理素养.2.借助运算求值，提升数学运算素养.1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sin_αcos_αC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝2.余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形(1)si

2、nαcosα＝sin2α，cosα＝.(2)1±sin2α＝(sin_α±cos_α)2.1．下列各式中，值为的是(　　)A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°B　[2sin15°cos15°＝sin30°＝；cos215°－sin215°＝cos30°＝；2sin215°＝1－cos30°＝1－；sin215°＋cos215°＝1，故选B.]2．sin15°cos15°＝________.　[sin15°cos15°＝×2s

3、in15°cos15°＝sin30°＝.]3.－cos2＝________.－　[－cos2＝－＝－－×＝－.]4．若tanθ＝2则tan2θ＝________.－　[tan2θ＝＝＝－.]给角求值【例1】　(1)coscoscos的值为(　　)A.　　　　　B．－C.D．－(2)求下列各式的值：①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③；④－.(1)D　[∵cos＝－cos，cos＝－cos，∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝＝－.](2)[解]　①cos415°－sin

4、415°＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos30°＝.②1－2sin275°＝1－(1－cos150°)＝cos150°＝－cos30°＝－.③＝2×＝2×＝－2.④－＝＝＝＝＝4.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角

5、公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.1．求下列各式的值(1)cos72°cos36°；(2)＋.[解]　(1)cos36°cos72°＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝＝4.给值求值、求角问题【例2】　(1)已知cos＝，≤α＜，求cos的值；(2)已知α∈，且sin2α＝sin，求α.[思路点拨]　依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋与2α＋，α－与2α－具有2倍关系，用二倍角公式联系；(2)2α＋与2α差，用诱导公式联系．[解]　(1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.∵cos＞0，∴＜α＋

6、＜，∴sin＝－＝－＝－，∴cos2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，sin2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝－.(2)∵sin2α＝－cos＝－＝1－2cos2，sin＝－sin＝－cos＝－cos，∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－.∵α∈，∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝.1．在例2(1)的条件下，求sin4α的值．[解]　由例2(1)解析知sin4α＝2sin2αcos2α＝2××＝－.2．将例2

7、(1)的条件改为sin＝，0＜x＜，求的值．[解]　∵0＜x＜，∴－x∈.又sin＝，∴cos＝.又cos2x＝sin＝2sincos＝2××＝，cos＝sin＝sin＝，∴原式＝＝.解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos2x＝类似的变换还有：cos2x＝，化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“

8、切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．【例3】　(1)化简：＋＝________.(2)证明：＝－4.[思路点拨]　(1)通分变形．(2)→→(1)－tan2θ　[原式＝＝＝－＝－tan2θ.](2)[证明]　左边＝＝＝＝＝－4＝右边，所以原等式成立．证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是