高考数学板块命题点专练（三）基本初等函数（Ⅰ）及函数与方程文苏教版

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1、板块命题点专练(三)基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程命题点一　基本初等函数(Ⅰ)1．(2017·全国卷Ⅰ改编)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则2x,3y,5z的大小关系为________．解析：设2x＝3y＝5z＝k＞1，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝＞0，所以2x＞3y；因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝＜0，所以3y＜5z；因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝＜0，所以5z＞2x.所以5z＞2x＞3y.

2、答案：5z＞2x＞3y2．(2018·天津高考改编)已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵c＝log＝log35，a＝log3，又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，∴log35＞log3＞log33＝1，∴c＞a＞1.∵y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴＜0＝1，即b＜1.∴c＞a＞b.答案：c＞a＞b3．(2015·江苏高考)不等式2＜4的解集为________．解析：因为2x2－x＜4，所以2＜22，所以x2－x＜2，即x2－x－2＜0，所以－1＜x＜2.答案：

3、(－1,2)4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，所以xlna＝0恒成立，所以lna＝0，即a＝1.答案：15．(2018·上海高考)已知常数a＞0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q，若2p＋q＝36pq，则a＝________.解析：因为函数f(x)的图象经过点P，Q，所以f(p)＋f(q)＝＋＝＝－＝1，化简得2p＋q＝a2pq.因为2p＋q＝36pq，

4、所以a2＝36且a＞0，所以a＝6.答案：66．(2016·江苏高考)已知函数f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)．(1)设a＝2，b＝.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab的值．解：(1)因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.①方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.②由

5、条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)＞0，所以m≤对于x∈R恒成立．而＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，所以m≤4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2有且只有1个零点，而g(0)＝f(0)－2＝a0＋b0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点．因为g′(x)＝axlna＋bxlnb，又由0＜a＜1，b＞1知lna＜0，lnb＞0，所以g′(x)＝0有唯一解x0＝log.令h(x)＝g

6、′(x)，则h′(x)＝(axlna＋bxlnb)′＝ax(lna)2＋bx(lnb)2，从而对任意x∈R，h′(x)＞0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x∈(－∞，x0)时，g′(x)＜g′(x0)＝0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＞g′(x0)＝0.因而函数g(x)在(－∞，x0)上是单调减函数，在(x0，＋∞)上是单调增函数．下证x0＝0.若x0＜0，则x0＜＜0，于是g＜g(0)＝0.又g(loga2)＝a＋b－2＞a－2＝0，且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的

7、图象不间断，所以在和loga2之间存在g(x)的零点，记为x1.因为0＜a＜1，所以loga2＜0.又＜0，所以x1＜0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．若x0＞0，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾．因此，x0＝0.于是－＝1，故lna＋lnb＝0，所以ab＝1.7．(2016·上海高考)已知a∈R，函数f(x)＝log2.(1)当a＝5时，解不等式f(x)＞0；(2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰有一个元素，求a的

8、取值范围；(3)设a＞0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．解：(1)由log2＞0，得＋5＞1，解得x∈∪(0，＋∞)．(2)由原方程可得＋a＝(a－4)x＋2a－5，即(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0.①当a＝4时，x＝－1，经检验，满足题意．②当a