高考数学板块命题点专练(三)基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程文苏教版

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1、板块命题点专练(三)基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程命题点一 基本初等函数(Ⅰ)1.(2017·全国卷Ⅰ改编)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则2x,3y,5z的大小关系为________.解析:设2x=3y=5z=k>1,所以x=log2k,y=log3k,z=log5k.因为2x-3y=2log2k-3log3k=-===>0,所以2x>3y;因为3y-5z=3log3k-5log5k=-===<0,所以3y<5z;因为2x-5z=2log2k-5log5k=-===<0,所以5z>2x.所以5z>2x>3y.

2、答案:5z>2x>3y2.(2018·天津高考改编)已知a=log3,b=,c=log,则a,b,c的大小关系为________.解析:∵c=log=log35,a=log3,又y=log3x在(0,+∞)上是增函数,∴log35>log3>log33=1,∴c>a>1.∵y=x在(-∞,+∞)上是减函数,∴<0=1,即b<1.∴c>a>b.答案:c>a>b3.(2015·江苏高考)不等式2<4的解集为________.解析:因为2x2-x<4,所以2<22,所以x2-x<2,即x2-x-2<0,所以-1<x<2.答案:

3、(-1,2)4.(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________.解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-x)-f(x)=0恒成立,所以-xln(-x+)-xln(x+)=0恒成立,所以xlna=0恒成立,所以lna=0,即a=1.答案:15.(2018·上海高考)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P,Q,若2p+q=36pq,则a=________.解析:因为函数f(x)的图象经过点P,Q,所以f(p)+f(q)=+==-=1,化简得2p+q=a2pq.因为2p+q=36pq,

4、所以a2=36且a>0,所以a=6.答案:66.(2016·江苏高考)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解:(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,即2x=1,解得x=0.②由

5、条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2=ax+bx-2有且只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g′(x)=axlna+bxlnb,又由0<a<1,b>1知lna<0,lnb>0,所以g′(x)=0有唯一解x0=log.令h(x)=g

6、′(x),则h′(x)=(axlna+bxlnb)′=ax(lna)2+bx(lnb)2,从而对任意x∈R,h′(x)>0,所以g′(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g′(x)<g′(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>g′(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(loga2)=a+b-2>a-2=0,且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的

7、图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以loga2<0.又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故lna+lnb=0,所以ab=1.7.(2016·上海高考)已知a∈R,函数f(x)=log2.(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的

8、取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.解:(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)由原方程可得+a=(a-4)x+2a-5,即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.①当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.②当a

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