2020版高考数学一轮复习高考大题增分课5平面解析几何中的高考热点问题教学案理北师大版

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1、高考大题增分课[命题解读]　圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对运算能力、分析问题、解决问题的能力要求较高，难度较大，常以压轴题的形式出现．圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明一般包括两大方面：一是位置关系的证明，如证明相切、垂直、过定点等，二是数量关系的证明，如存在定值、恒成立、线段或角相等等．【例

2、1】　(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．[解]　(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.由已知可得，点A的坐标为或.又M(2,0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB．当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程

3、为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得kMA＋kMB＝.将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB．综上，∠OMA＝∠OMB．[规律方法]　对于圆锥曲线中的证明问题，常采用直接法证明，

4、证明时常借助等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助方程思想给予解答．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．[解]　(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB．故坐标原点

5、O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)知y1y2＝－4，x1x2＝4.所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(

6、y－1)2＝10.当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.最值、范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题是高考中的常考题型，以解答题为主，难度一般较大，注重方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用．主要的命题角度有：(1)涉及距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之有关的一些问题．【例2】　(本题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点

7、B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明①，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求②.[信息提取]　①看到

8、EA

9、＋

10、EB

11、为定值，想到点E的轨迹方程可能是椭圆．②看到四边形MPNQ面积的取值范围，想到四边形MPNQ对角线是否垂直，如何将四边形分成三角形求面积，可能利用弦长公式．[规范解答]　(1)证明：因为

12、AD

13、＝

14、AC

15、，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠A

16、DC.所以

17、EB

18、＝

19、ED

20、，故

21、EA

22、＋

23、EB

24、＝

25、EA

26、＋

27、ED

28、＝

29、AD

30、.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而

31、AD

32、＝4，所以

33、EA

34、＋

35、EB

36、＝4.···········································2分由题设得A(－1,0)，B(1,0)，

37、AB

38、＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0).················4分(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1