北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习教学案：高考大题增分课（五）平面解析几何中的高考热点问题含答案

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1、五)　平面解析几何中的高考热点问题[命题解读]　1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上．2．高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，在第(1)问中常以求曲线的标准方程，在第(2)问以求作或证明位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的方程与性质是高考考查的重点

2、，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常见题型，多以选择题或填空题的形式考查，各种难度均有可能．【例1】　(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)A．－＝1　　B．－＝1C．－＝1D．－＝1B　[由y＝x可得＝.①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为－＝1.故选B.][规律方法]　解决此类问题的关键是熟练掌握各曲线的定义、性质及相关参数间的联系.掌握一

3、些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．(1)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)A．2　　B．C．　　　　D．(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则

4、AB

5、＋

6、DE

7、的最小值为(　　)A．16　　　B．14C．12　　　D．10(1)A　(2)A　[(1)设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，圆

8、的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为＝.根据点到直线的距离公式得＝，解得b2＝3a2.所以C的离心率e＝＝＝＝2.故选A．(2)因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以

9、AB

10、＝·

11、x1－x2

12、＝·＝·＝.同理可得

13、DE

14、＝4(

15、1＋k2)．所以

16、AB

17、＋

18、DE

19、＝＋4(1＋k2)＝4＝8＋4≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．故选A．]圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等定值问题．【例2】　(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－

20、1，证明：l过定点．[解]　(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由＋＞＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上．因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且

21、t

22、＜2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16

23、(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.当且仅当m＞－1时，Δ＞0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．[规律方法]　1.证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k或截距b的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上．2．解决定值问题应以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然

24、后代入相应的坐标运算，结果即可得到．3．无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定方向和目标．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说