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1、2015年云南省普通高中学业水平考试·数学·立体几何复习练习题难度略高于学业水平考试1.（2014.7）（本小题满分8分）BACDEFA1B1C1D1如图，在正方体中，、分别为、的中点。（1）求证:;（2）//平面.2.如图，在四面体P-ABC中，PA平面ABC,ACAB,且D、E、F、G分别为BC、PC、AB、PA的中点。（1）证明：FG//平面ADE;（2）证明：ACPB。证明：(1)D、E、F、G分别为BC、PC、AB、PA的中点,DE//PB,FG//PB,故DE//FG。又DE平面ADE，FG平面ADE，FG//平面ADE。…………………….
2、4分（2）PA平面ABC,PAAC,又ACAB,ABCDPEFABPA=A,AC平面PAB,而PB平面PAB，ACPB。3.（本小题满分8分）在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点、F分别是、的中点。（1）求证：平面；（2）求证：；答案：（1）设PA的中点G，连接GE，ABCD为矩形，E是PD的中点，，四边形BGEF为平行四边形，,又EF平面PAB,BG平面PAB，EF//平面PAB。……………………....4分（2）PA平面ABCD,PAAD，ABCD为矩形,ADAB,又ABAP=A，AD平面PAB，而PB平面PAB，ADPB……..8分4.如图，在三
3、棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC,∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，M为BC的中点。（1）求证：BC⊥平面A1AM；（2）求两条异面直线AC与A1M所成角的余弦值。答案：（1）因为平面ABC,所以.又因为AB=AC，M为BC的中点，所以.又,所以BC⊥平面A1AM。…3分（2）取AB的中点E，连接ME,因为M为BC的中点,所以ME.所以异面直线AC与A1M所成角即为.易知所以，所以异面直线AC与A1M所成角余弦值。7分5.（2005年高考数学全国卷Ⅲ试题）设三棱柱ABC-A1B1C1的体积是V，P.Q分别是侧棱AA1.CC1上的点，且PA
4、=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为（）A.B.C.D.6.（2005年高考数学全国卷Ⅲ试题）（本小题满分12分）四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（1）求证AB⊥面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．证法一：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由
5、三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角设正方形ABCD的边长为a，则在Rt△ABF中，,AB=a,AF=a，tan∠AFB=故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为证明二：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．…………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），∴……3分由…………4分……5分又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD…………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量……………………7分设是面VD
6、B的法向量，则……9分∴，……………11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为……12分7.（2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ））过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）ABCDEA1B1C1（A）(B)(C)(D)8.（2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ））（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C
7、1的大小．解法一：ABCDEA1B1C1OF（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．……2分∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E
8、⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－A
