2019版一轮优化探究理数练习：选修4-5 第二节　不等式的证明 含解析

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1、1．已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d.求证：＋＋≥.证明：因为a>b>c>d，所以a－b>0，b－c>0，c－d>0，a－d>0.所以(＋＋)(a－d)＝(＋＋)[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3×3＝9.(或≥[·····]2＝9.)即＋＋≥.2．用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋>1(n∈N*且n>1)．证明：(1)当n＝2时，＋＋＝>1成立；(2)设当n＝k(k≥2)时，＋＋＋…＋>1；则当n＝k＋1时，＋…＋＋＋…＋＝(＋＋…＋)＋＋…＋－>1＋－＝1＋＝1＋>1.即当n＝k＋1时也成立．所以对任意

2、n>1(n∈N*)，原不等式成立．3．已知n，k均为大于1的整数，求证：1＋＋＋…＋<2.证明：∵n>1，k>1，n，k均为整数，∴≤，∴1＋＋＋…＋≤1＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝2－<2.即1＋＋＋…＋<2(n，k∈N，n≥2，k≥2)．4．已知函数f(x)＝ax－－2lnx，f(1)＝0.若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0，且an＋1＝f′()－nan＋1，若a1≥3，求证：an≥n＋2.证明：∵f(1)＝a－b＝0，∴a＝b，∴f′(x)＝a＋－，∵函数f(x)的图象在x

3、＝1处的切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，解得a＝1，∴f′(x)＝(－1)2，∴an＋1＝a－nan＋1.(1)当n＝1时，an≥3＝1＋2，不等式成立；(2)假设n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak－k≥2>0，∴ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥2(k＋2)＋1＝(k＋3)＋k＋2>k＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2，根据(1)(2)知对于所有n≥1(n∈N)有an≥n＋2.