《金版学案》数学理一轮练习：选修4－5第二节 不等式的证明含解析一

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1、第二节不等式的证明【最新考纲】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法・教林回归I同本强塞1・基本不等式定理1：成立.等号成立.定理3：(D

2、基础梳理设a,beR,则a2+b2^2ab.当且仅当a=b时，等号如果a,o-4—hb为正数，则-^―^Vab,当且仅当a=b时,如果a,b,c为正数，则当且仅当a=b=c时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果apa2,・%为n个正数，则一2%1巧…％当且仅当ai=a2=••-=a^时，等号成立.2.不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两

3、种.名称作差比较法作商比较法a>b0a—b>0a理论avbOa—bvOb>0,->l=^a>bb依据ava=bOa—b=0b<0,^>l=>a

4、”）（1）比较法最终要判断式子的符号得出结论（）（2）综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论（）（3）分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.（）（4）使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.（）答案：⑴X(2)7⑶X(4)X2.若a>b>l,x=a+

5、,y=b+p则x与y的大小关系是()A・x>yB・x

6、^b+^b-a(a-b)(ab-1)=a•b+葛厂・由a>b>l得ab>

7、l,a-b>0,所l^(a"b)a^ab"1)>0.即x-y>0，所以x>y.答案：A3・已知a^b>0,M=2a3-b3,N=2ab2-a2b,贝ljM,N的大小关系为•解析：2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b)・因为a^b>0f所以a-b^O,a+b>0,2a+b>0,从而(a-b)(a+b)(2a+b)M0，故-b3^2ab2-a2b.答案:MMN4.已知a>0,b>0且ln(a+b)=0,贝的最小值是・解析：由题意得fa+b=1,a>0,b>0,11fl1-宀b

8、aAa+b=la+b>+b)=2+a+b处2*4'当且仅当a=b=

9、时等号成立・答案：4［名师微博•通法领悟｝—点注意使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件.三种方法1.比较法：作差比较法主要判断差值与0的大小，作商比较法在于判定商值与I的大小（一般要求分母大于0）.2・分析法：BUB1UB2U・・・UB“UA（结论）.（步步寻求不等式成立的充分条件）（已知）.3・综合法：已知）.（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）.番言•高效提能I分耕训I单虺成册1・(2014・江苏卷)已知x>0,y>0,证明:(l+x+y2)(H-x2+y)^9xy.证明：因为x>0fy>0

10、,所以1+x+^/xp>0,1+x2+yM3寺込>0,故(1+x+y2)(l+x2+y)$3^/xy2•3衆务=9xy.2.已知a〉。，求证:~—7—a/2~—丄一2.VaLa证明：要证原不等式9只需证Jq'+丄+22^+丄+a/^~9V«>0,A两边均大于零.只需证/+A+4+4J/—7+A+2+2+eraL只需证2./(22+只需证2(a24~—7)+丄r+29即证a2+亠$2，cl丿cra又/+丄上2显然成立…••原不等式成立.CT3.(2016-长春模拟)⑴已知a,b都是正数，且aHb,求证：a3+b3>a2b+ab2；(2)已知a,b,c都是正数，求证:a

11、+b+cMabe.证明:(l)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.因为a,b都是正数，所以a+b>0.又因为aHb,所以(a-b)2>0.于是(a+b)(a-b)2>0fBP(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以J+b3>a2b+ab2.(2)因为b2+c2^2bc,a2>0r所以a2(b2+c2)^2a2bc.①同理b2(a2+只需证2(a24~—7)+丄r+29即证a2+亠$2，cl丿cra又/+丄上2显然成立…••原不等式成立.CT3.(2016-长春模拟)⑴已知a,b都是正数，且aHb,求证：a3+b3>a2b