2013年高考真题(广东卷)数学(理科)逐题解析

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)逐题详解参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上,下底面积,表示台体的高.一,选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A.B.C.D.【解析】D;易得,,所以,故选D.2.定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是()A.B.C.D.【解析】C;考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C.3.若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是()A.B.C.D.【解析】

2、C;对应的点的坐标是,故选C.4.已知离散型随机变量的分布列为正视图俯视图侧视图第5题图则的数学期望()A.B.C.D.【解析】A;,故选A.5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.B.C.D.【解析】B;由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为和的正方形,高为,故,,故选B.6.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则【解析】D;ABC是典型错误命题,选D.7.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方

3、程是()A.B.C.D.【解析】B;依题意,,所以,从而,,故选B.8.设整数,集合.令集合若和都在中,则下列选项正确的是()A.,B.,C.,D.,【解析】B;特殊值法,不妨令,,则,,故选B.如果利用直接法:因为,,所以…①,…②,…③三个式子中恰有一个成立;…④,…⑤,…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况:第一种:①⑤成立,此时,于是,;第二种:①⑥成立,此时,于是,;第三种:②④成立,此时,于是,;第四种:③④成立,此时,于是,.综合上述四种情况,可得,.二,填空题:本题共7小题,考生作答6小题

4、,每小题5分,共30分是否输入输出结束开始第11题图n(一)必做题(9~13题)9.不等式的解集为___________.【解析】;易得不等式的解集为.10.若曲线在点处的切线平行于轴,则______.【解析】;求导得,依题意,所以.11.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.【解析】;第一次循环后:;第二次循环后:;第三次循环后:;第四次循环后:;故输出.12.在等差数列中,已知,则_____.【解析】;依题意,所以.xy441O或:13.给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点

5、,则中的点共确定______条不同的直线.【解析】;画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.(二)选做题(14,15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为(为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________..AEDCBO第15题图【解析】;曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.15

6、.(几何证明选讲选做题)如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.【解析】;依题意易知,所以,又,所以,从而.三,解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求.【解析】(Ⅰ);(Ⅱ)因为,,所以,所以,所以.17.(本小题满分12分)第17题图某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值;(Ⅱ)日

7、加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人;(Ⅲ)从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ)样本均值为;(Ⅱ)由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.(Ⅲ)设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.18.(本小题满分14分)如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,.COBDEACDOBE图1图2为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.CDOBEH(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦

8、值.【解析】(Ⅰ)在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证,又,所以平面.(Ⅱ)传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而CDOxE向量法图yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得

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