2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：平面向量与复数　平面向量的数量积及平面向量的应用举例（含答案）

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1、第四章　平面向量与复数第3课时　平面向量的数量积及平面向量的应用举例1.[2013·扬州期末]已知向量a＝[2，1]，b＝[－1，k]，若a⊥b，则k＝________．答案：2解析：∵a⊥b，∴a·b＝－2＋k＝0，故k＝2.2.[2013·盐城二模]若e1、e2是两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，则e1、e2的夹角为________．答案：π解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即[e1－2e2]·[5e1＋4e2]＝0，∴5e－6e1·e2－8e＝0，∴5－6cosθ－8＝0

2、，即cosθ＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.3.[2013·福建]在四边形ABCD中，＝[1，2]，＝[－4，2]，则该四边形的面积为________．答案：5解析：本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为·＝1×[－4]＋2×2＝0，所以⊥，所以四边形的面积为＝＝5.4.[2013·苏锡常镇一模]已知向量a、b的夹角为45°，且

3、a

4、＝1，

5、2a－b

6、＝，则

7、b

8、＝________．答案：3解析：由

9、a

10、＝1，

11、2a－b

12、＝，得

13、a

14、2＝1，

15、2a－b

16、2＝10，∴4

17、a

18、2－4a·b＋

19、b

20、

21、2＝10，即4

22、a

23、2－4

24、a

25、

26、b

27、cos45°＋

28、b

29、2＝10，也就是4－2

30、b

31、＋

32、b

33、2＝10，解得

34、b

35、＝3[负值已舍去]．5.[2013·常州期末]已知向量a、b满足a＋2b＝[2，－4]，3a－b＝[－8，16]，则向量a、b的夹角的大小为________．答案：π解析：由a＋2b＝[2，－4]，3a－b＝[－8，16]，可得a＝[－2，4]，b＝[2，－4]，a＝－b，故两向量共线且反向，故夹角为π.6.已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝________．答案：－2解析：·＝

36、[7＋3]·[－]＝4·－7

37、

38、2＋3

39、

40、2＝4×1×1×cos－7＋3＝－2.7.[2013·苏州期末]已知向量a、b满足

41、a

42、＝1，[a＋b]·[a－2b]＝0，则

43、b

44、的最小值为________．答案：解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为

45、a

46、＝1，[a＋b]·[a－2b]＝0，所以a2－a·b－2b2＝0，即1－

47、b

48、cosθ－2

49、b

50、2＝0，所以cosθ＝，所以－1≤≤1，即解得≤

51、b

52、≤1，故

53、b

54、的最小值为.8.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆

55、上的任意一点，则·的最小值为________．答案：1解析：取AB中点D，连结CD，则＋＝2，∴·＝[＋]·[＋]＝·＋[＋]·＋

56、

57、2＝·－2·＋1＝[2]2cos－2×3×1×cos〈，〉＋1＝7－6cos〈，〉，∴当〈，〉＝0时，·取得最小值为7－6＝1.9.如图所示，在平行四边形OADB中，向量＝a，＝b，两条对角线交点为C，又＝，＝.[1]试用a、b表示；[2]若

58、

59、＝，

60、a

61、＝2，

62、b

63、＝6，求平行四边形OADB的面积．解：[1]∵＝＋，而＝，＝，∴＝＋＝[－]＋[＋]＝＋＝a＋b.[2]

64、由[1]

65、

66、2＝＝a2＋·b2＋ab.∵

67、a

68、＝2，

69、b

70、＝6，记∠AOB＝θ，则

71、

72、2＝2＋2cosθ＝3，即cosθ＝，∴平行四边形OADB的面积为2×6×＝6.10.设平面向量a＝[cosx，sinx]，b＝[cosx＋2，sinx]，c＝[sinα，cosα]，x∈R.[1]若a⊥c，求cos[2x＋2α]的值；[2]若x∈，证明：a和b不可能平行；[3]若α＝0，求函数f[x]＝a·[b－2c]的最大值，并求出相应的x值．[1]解：若a⊥c，则a·c＝0.cosxsinα＋sinxcosα＝

73、0，即sin[x＋α]＝0.所以cos[2x＋2α]＝1－2sin2[x＋α]＝1.[2]证明：假设a和b平行，则cosxsinx－sinx[cosx＋2]＝0，即2sinx＝0，sinx＝0.而x∈时，sinx>0，矛盾．故假设不成立，所以a和b不可能平行．[3]解：若α＝0，c＝[0，1]，则f[x]＝a·[b－2c]＝[cosx，sinx]·[cosx＋2，sinx－2]＝4sin＋1，∴当x＝2kπ－[k∈Z]时，f[x]max＝5.11.[2013·江苏]已知向量a＝[cosα，sinα]，

74、b＝[cosβ，sinβ]，0＜β＜α＜π.[1]若

75、a－b

76、＝，求证：a⊥b；[2]设c＝[0，1]，若a＋b＝c，求α、β的值．[1]证明：由题意得

77、a－b

78、2＝2，即[a－b]2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝

79、a

80、2＝

81、b

82、2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.[2]解：因为a＋b＝[cosα＋cosβ，sinα＋sinβ]＝[0，1]，所以由此得，cosα＝cos[π－β]，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α