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《§17.3 二项展开式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§17.3 二项展开式重点·展开二项式难点·理解并记住二项展开式以及通项公式学习要求·正确展开二项式·正确写出二项式通项165展开(x+y)2为x,y的多项式，对你来说应该是毫无困难；展开(x+y)3也不能难倒你；但如果要你展开(x+y)100为x,y的多项式，你可能要傻眼了就觉得有困难了，因为不但可以预料展开式冗长，而且x,y的次数及各项系数的计算也会令人望而却步．本节将揭示这种展开式中x,y的次数及各项系数的规律．这其中的关键是组合数的应用．1.二项式展开按代数式相乘的法则展开(x+y)3，并且依x的降幂排列，结果是8项之和：(x+y)3=(x+y)(x+y)(
2、x+y)=x3+x2y+x2y+x2y+xy2+xy2+xy2+y3，其中每一项x的次方与y的次方之和都是3，且其中有不少同类项．合并同类项后得到4项：(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3．同样按代数式相乘法则展开(x+y)n，并且依x的降幂排列，结果将是2n项相加：(x+y)n=xn+xn-1y+…+xn-2y2+…+xn-3y3+…+xyn-1+yn，(1)其中的每一项都是xkyn-k的形式(0£k£n)，且也有许多同类项．只要对每个k=0,1,2,…,n，能知道xkyn-k的同类项个数Ak，那么合并同类项后，(1)式必定是如下n+1项的和的形式：(x+
3、y)n=Anxn+An-1xn-1y+An-2xn-2y2+An-3xn-3y3+…+A1xyn-1+A0yn，(2)(1)二项式定理以(x+y)100的展开问题为例．例如考虑x10y90的同类项，它可以以下列形式出现：10个90个9个89个88个9个90个10个x×x×...×x×y×y×...×y,x×x×...×x×y×x×y×y×...×y,x×x×...×x×y×y×x×y×y×...×y,...,y×y×...×y×x×x×...×x其个数A10相当于把90个y放到100个格子里去(其余格子留给x)的可能放法，这正是100取90的组合数，因此x10y90
4、的同类项个数A10=．把x10y90换成一般的项xky100-k(0£k£100)，无非是把上面讨论中的10换成k，同样得到xky100-k的同类项项数Ak=．165更一般地讨论展开(x+y)n，相当于上面讨论中的100换成n；据(2)式，此时每一项x与y的指数和是n；取其中任意一个项xkyn-k(0£k£n)，同类项的个数相当于n个格子，放n-k个y的可能放法，这是n取n-k的组合数．各同类项计数完毕，就能写出(x+y)n按x的降幂排列的展开式了．(x+y)n=xny0+xn-1y+xn-2y2+xn-3y3+...+xyn-1+x0yn,即(x+y)n=，(17
5、-3-1)（17-3-1）中，符号“S”是求和记号；“”是求和的项的通式，“S”的上、下标分别表示起始项和最后一项所对应的k．根据组合数的对偶法则，=，因此(17-3-1)也能写为(x+y)n=(17-3-2)公式(17-3-1),(17-3-2)称为二项式定理．等式右边的多项式称为二项展开式，共有n+1项；展开式中的系数(k=0,1,2,...,n)称为二项式系数；(0£k£n)是展开式的第k+1项，称为二项展开式的通项，记作．(17-3-3)(2)二项式系数的计算图17-6..................(1)(1)(x+y)1(1)(2)(1)(x+y)2
6、(1)(3)(3)(1)(x+y)3(1)(4)(6)(4)(1)(x+y)4(1)(5)(10)(10)(5)(1)(x+y)5(1)(6)(15)(20)(15)(6)(1)(x+y)6(1)(7)(21)(35)(35)(21)(7)(1)(x+y)71(x+y)0要想得到(x+y)n的具体的展开式，关键是计算二项式系数．在知道了组合数公式后，理论上这种计算并无困难．165让我们把所有的系数搭成如图17-6的那个三角形，可见三角形各排两端的数总是1；根据组合数的增一法则，从第三排起，中间任何一个数等于上一排其“肩上”两个数字的和．去掉1(x+y)011(x+y
7、)1121(x+y)21331(x+y)314641(x+y)415101051(x+y)51615201561(x+y)6172135352171(x+y)718285670562881(x+y)8.....................图17-7组合数符号，留下计算结果，则是图17-7的三角形．这个三角形数表，是自然界和谐统一的体现．古时候文明之邦，或早或迟都会有人发现并研究它，我国宋朝数学家杨辉(13世纪)所著《详解九章算术》里就已经记载着这样的表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角源自贾宪(11世纪)，因此现在有些数学家建议改称贾宪三角．法国人帕斯卡(P
