数形结合思想方法的内涵与作用

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1、数形结合思想方法的内涵与作用“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想。   事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。   给“数”的问题以直观图形的描述，揭

2、示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性。      数形结合思想在课本中，具有突出的地位。比如：在集合运算中的应用。涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图、表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图、表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷。   又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的

3、一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质。   下面举例说明数形结合的奇妙。例1：已知实数 满足 ，求证：   d的几何意义是直线 ： 的点与定点M（－2，－2）的距离，由点M到直线 的距离为 ，根据平面几何的知识知， ，即 。   例2：已知 ，且 ，求证： 。   分析：要解决本题是很容易的，但我们从“形”的角度来认识和解决这个问题是十分有趣的。记 ，那么d的几何意义是在空间直角坐标系中，原点O（0，0，0）到平面 上任意一点的距离。设平面 与空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴的交点分别为A、B、C，则O

4、A=OB=OC=1，那么正三棱锥O—ABC的侧棱为1，侧面的顶角均为90°（如图）。由等体积法易得，点O到平面ABC（即平面 ）的距离为。“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物;而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”来细致、入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。“数无形时少直觉，形少数时难入微”形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了

5、数形结合思想的本质。“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图象结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。