欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:44715484
大小:71.00 KB
页数:3页
时间:2019-10-25
《数形结合思想方法的内涵与作用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数形结合思想方法的内涵与作用“数缺形,少直观;形缺数,难入微”,这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说,就是在解决数学问题时,根据问题的背景、数量关系、图形特征,或使“数”的问题,借助于“形”去观察;或将“形”的问题,借助于“数”去思考,这种解决问题的思想称为数形结合思想。 事实上,数形结合思想,就是用联系的观点,根据数的结构特征,构造出与之相适应的图形,并利用图形的性质和规律,解决“数”的问题;或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息,弱化或消除“形”的推理,从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。 给“数”的问题以直观图形的描述,揭
2、示出问题的几何特征,就能变抽象为直观;给“形”的问题以数的度量,分析数据之间的关系,更能从本质上深刻认识“形”的几何属性。 数形结合思想在课本中,具有突出的地位。比如:在集合运算中的应用。涉及集合的运算,常常采用文氏图,数轴等形象、直观的方式;在研究函数时,已知函数的解析式,作出函数的图象,再通过函数的图象研究函数的性质;或通过图、表的分析,抽象出变量之间的规律,再通过变量之间的规律的研究,进一步掌握图、表的变化趋势;运用数形结合思想,构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷。 又如,笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合,创立了数学的
3、一大分支——解析几何,构建曲线与方程的理论,集中解决了两大问题:已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质。 下面举例说明数形结合的奇妙。例1:已知实数 满足 ,求证: d的几何意义是直线 : 的点与定点M(-2,-2)的距离,由点M到直线 的距离为 ,根据平面几何的知识知, ,即 。 例2:已知 ,且 ,求证: 。 分析:要解决本题是很容易的,但我们从“形”的角度来认识和解决这个问题是十分有趣的。记 ,那么d的几何意义是在空间直角坐标系中,原点O(0,0,0)到平面 上任意一点的距离。设平面 与空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴的交点分别为A、B、C,则O
4、A=OB=OC=1,那么正三棱锥O—ABC的侧棱为1,侧面的顶角均为90°(如图)。由等体积法易得,点O到平面ABC(即平面 )的距离为。“数”与“形”是数学研究的两个基本对象,“数”,属于数学抽象思维范畴,是人的左脑思维的产物;而“形”主要指几何图形,属于形象思维范畴,是人的右脑思维的产物。利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来,借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”来细致、入微地刻画“形”的特征,直观与抽象相互配合,取长补短,从而顺利、有效地解决问题。“数无形时少直觉,形少数时难入微”形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值,也揭示了
5、数形结合思想的本质。“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图象结合起来进行思考,从而使“数”与“形”各展其长,优势互补,相辅相成,使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。
此文档下载收益归作者所有