高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十三）空间向量的运算及应用（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测（四十三）空间向量的运算及应用一、题点全面练1．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)A．9　　　　　　　　　B．－9C．－3D．3解析：选B　由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)A．α∥βB.α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选C　∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n1与n2不垂直，又n1，

2、n2不共线，∴α与β相交但不垂直．3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)A．－1B.0C．1D．不确定解析：选B　如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　　)A．x＝，y＝，z＝B.x＝，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝D．x＝，y＝，z＝解析：选D　设＝a，＝b，＝c，∵

3、点G分MN所成的比为2，∴＝，∴＝＋＝＋(－)＝a＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，即x＝，y＝，z＝.5.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)A.B.C．1D.解析：选D　∵＝＋＋，∴

4、

5、2＝

6、

7、2＋

8、

9、2＋

10、

11、2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，∴

12、

13、＝.6.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________________.解析：∵＝＝(＋)，∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.答案：＋＋7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是C

14、D，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________.解析：连接PD(图略)，∵M，N分别为CD，PC的中点，∴MN＝PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，∴PD＝＝，∴MN＝.答案：8．在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A，B1，C，C1，M(0,0,0)，设N，因为＝λ，所以N，所以＝，

15、＝.又因为AB1⊥MN，所以·＝0.所以－＋＝0，所以λ＝15.答案：159．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.又∵＝＋＋，∴

16、

17、2＝

18、

19、2＋

20、

21、2＋

22、

23、2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．当〈，〉＝60°时，2＝4；当〈，〉＝120°时，2＝2.∴

24、

25、＝2或，即B，D间的距离为2或.10.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F

26、，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．(1)试用向量，，表示；(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.解：(1)设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝c＋b＋＝a＋b＋c＝＋＋.故AG＝AB＋AD＋AA1.(2)证明：＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a＝，∵EG与AC无公共点，∴EG∥AC，∵EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EG∥平面AB1C.又∵＝＋＝a＋c，＝＋＝c＋a＝，∵FG与AB1无公共点，∴FG∥AB1，∵FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴FG∥平面AB1C.又∵FG∩EG＝G，FG⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.二

27、、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)A．必要不充分条件B.充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B　当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n(m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)＋