高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第68讲抛物线练习理新人教版

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1、第68讲　抛物线夯实基础　【p155】【学习目标】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．理解数形结合的思想；掌握代数知识、平面几何知识在解析几何中的作用．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．【基础检测】1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是(　　)A．(0，1)B．(1，0)C．(0，2)D.【解析】抛物线y＝4x2可化为x2＝y，所以抛物线的焦点为.【答案】D2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

2、AF

3、＝x0，则x0等于(　　)A．1B．2C．4D．8【解析】由抛物线的定义，可得

4、AF

5、＝x0＋，∵

6、AF

7、＝x0，∴

8、x0＋＝x0，∴x0＝1.【答案】A3．过抛物线y2＝4x上的焦点F，作直线l与抛物线交于A，B两点，已知

9、AF

10、＝，则

11、BF

12、＝(　　)A．2B．3C.D.【解析】A(x1，y1)，B(x2，y2)，不仿设y1>0，因为

13、AF

14、＝，由抛物线的定义可知，

15、AF

16、等于点A到抛物线y2＝4x的准线x＝－1的距离，即x1＋1＝，x1＝，A，直线AF：y＝(x－1)，即为y＝－2(x－1)，与y2＝4x联立可得，2x2－5x＋2＝0，解得x2＝2，所以

17、BF

18、＝x2＋＝2＋1＝3.【答案】B4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，过点A(3，2)向其准线作垂线，

19、与抛物线的交点为E，则

20、EF

21、＝________．【解析】由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，p＝4，故抛物线方程为y2＝8x.设过点A(3，2)向其准线作的垂线与准线交于点G，则G(－2，2)，设点E的坐标为E(x，2)，则4＝8x，解得x＝.由抛物线的定义得

22、EF

23、＝＋2＝.【答案】5．已知抛物线y2＝2px的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，直线l的斜率是，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则p＝________．【解析】根据抛物线定义易知直线AB的方程为y＝·，S＝··＝，＝＝p，所以·p＝⇒p＝.【答案】【知识要点】1．抛物线的定

24、义平面内与一定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离__相等__的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程、图形及几何性质见下表：标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围①x≥0，y∈R②x≤0，y∈R③x∈R，y≥0④x∈R，y≤0对称轴⑤__x轴__⑥__y轴__顶点O(0，0)O(0，0)离心率e＝1e＝1开口⑦__向右__⑧__向左__⑨__向上__⑩__向下__3.焦半径抛物线y2＝2px(p>0)

25、上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

26、PF

27、＝x0＋.典例剖析　【p155】考点1　抛物线的定义及应用(1)已知双曲线C：－4y2＝1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距离之和的最小值为________．【解析】∵双曲线－4y2＝1的一条渐近线为x－2ay＝0，∴右顶点(a，0)到该渐近线的距离d＝＝，解之得a＝或－(舍)，则c＝＝1，即右焦点为(1，0)，∴抛物线的焦点也为(1，0)，则p＝2，∴l2：x＝－1为其准线．如图，作MA⊥l1，M

28、B⊥l2，连MF，则

29、MB

30、＝

31、MF

32、，∴当A、M、F三点共线时，距离之和最小，其最小值即为点F到l1的距离，即＝2.【答案】2(2)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则

33、AF

34、＋

35、BF

36、＝________．【解析】分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得

37、AF

38、＋

39、BF

40、＝

41、AM

42、＋

43、BN

44、＝2

45、PQ

46、＝8.【答案】8【点评】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题

47、也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．考点2　抛物线的标准方程与性质(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y【解析】∵－＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.【答案】D(2