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《高考数学总复习第七章立体几何课时作业48理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时作业48 利用向量求空间角1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( B )A.B.C.D.解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)．则有即∴∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，即所成的锐二面角的余弦值为.2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD-A1
2、B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( D )A.B.C.D.解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，＝(2,0,0)，＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得n＝(－1,1,1)．∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A.B.C.D.解析：由正方体的性质及
3、题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，易知棱AB，AD，AA1所在直线与平面A1BD所成的角均相等，所以α∥平面A1BD，当平面α趋近点A时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O时，截面图形为正六边形，其边长为，截面图形的面积为6××2＝；当平面α趋近于C1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为，故选A.4．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径．当三棱锥P-ABC的体积最大时，二面角P-AB-C的大小为θ，则sinθ等于( C )A.B.C.D.解析
4、：如图，设球O的半径为R，由4πR2＝16π，得R＝2，设点P到平面ABC的距离为d，则0＜d≤2，因为AC为球的直径，所以AB2＋BC2＝AC2＝16，则V三棱锥P-ABC＝AB·BC·d≤··2＝，当且仅当AB＝BC＝2，d＝2时，V三棱锥P-ABC取得最大值，此时平面PAC⊥平面ABC，连接PO，因为PO⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PO⊂平面PAC，所以PO⊥平面ABC，过点P作PD⊥AB于D，连接OD，因为AB⊥PO，AB⊥PD，PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD，则AB⊥OD，所以∠PDO为二面角P-AB-C的平面角，因为OD＝BC＝，所以PD＝＝，则sinθ＝si
5、n∠PDO＝＝，故选C.5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和正方形ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是 45° .解析：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，＝，＝(0,1,0)，∴cos〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝135°，∴异面直线EF和CD所成的角的大小是45°.6．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM
6、与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为 .解析：建立空间直角坐标系如图所示．设AB＝1，则＝，E.设M(0，y,1)(0≤y≤1)，则＝.∵θ∈，∴cosθ＝＝＝.则2＝1－.令8y＋1＝t，1≤t≤9，则＝≥，当且仅当t＝1时取等号．∴cosθ＝≤×＝，当且仅当y＝0时取等号．7．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E-ACD的体积．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以E
7、O∥PB.又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，
8、
9、为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，则D(0，，0)，E，＝.设B(m,0,0)(m＞0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝.又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题
