高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十六）题型上——高考3大题型逐一精研（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测（五十六）题型上——高考3大题型逐一精研1.(2018·郑州一检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．(1)求椭圆C的离心率；(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求·的最大值．解：(1)由题意知＝c，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化简得a2＝2b2，所以e＝＝.(2)因为△PQF2的周长为4，所以4a＝4，得a＝，由(1)知b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2

2、＝1，且焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为x＝－1，P，Q，＝，＝，故·＝.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1＝＝－，由k2＞0可得·∈.综上所述，

3、·∈，所以·的最大值是.2．(2019·沈阳教学质量监测)设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值．解：(1)设P(x，y)，易知N(x,0)，＝(0，y)，又＝＝，∴M，又点M在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1.∴点P的轨迹E的方程为＋＝1.(2)证明：当直线l1与x轴重合时，

4、AB

5、＝6，

6、CD

7、＝，∴＋＝.当直线l1与x轴垂直

8、时，

9、AB

10、＝，

11、CD

12、＝6，∴＋＝.当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，则直线l2的方程为y＝－(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立直线l1与曲线E的方程，得得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，可得∴

13、AB

14、＝·＝，同理可得x3＋x4＝，x1x2＝.则

15、CD

16、＝·＝.∴＋＝＋＝.综上可得＋为定值．3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相

17、切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e＝，得＝，即c＝a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，所以a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x

18、2＝，x1x2＝.根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2＋·＝(＋)·＝·为定值，则·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝，要使上式为定值，即与k无关，只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，解得m＝，此时，2＋·＝m2－6＝－，所以在x轴上存在定点E使得2＋·为定值，且定值为－.4．(2019·惠州调研)已知点C为圆(x＋1)2＋y＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和

19、AP上的点M，满足·＝0，＝2.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤时，求k的取值范围．解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以

20、CP

21、＝

22、QC

23、＋

24、QP

25、＝

26、QC

27、＋

28、QA

29、＝2＞

30、CA

31、＝2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a＝，c＝1，b＝＝1，故点Q的轨迹方程是＋y2＝1.(2)设直线l：y＝kx＋t，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2

32、＋y2＝1相切⇒＝1⇒t2＝k2＋1.联立⇒(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2＞0⇒k≠0，x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝＋k