高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十三）抛物线（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测（五十三）抛物线一、题点全面练1．(2019·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则

2、PQ

3、＝(　　)A．9　　　　　　　　　B．8C．7D．6解析：选B　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，

4、PQ

5、＝

6、PF

7、＋

8、QF

9、＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)A．y2＝－xB.x2＝－8y

10、C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：选D　(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.3．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)A．y2＝－12x

11、B.y2＝－8xC．y2＝－6xD．y2＝－4x解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知

12、AB

13、＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若

14、MN

15、＝

16、AB

17、，则l的斜率为(　　)A.B.C.D．1解析：选B　设抛

18、物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以

19、BB′

20、＝

21、BF

22、，

23、AA′

24、＝

25、AF

26、.又N是线段AB的中点，

27、MN

28、＝

29、AB

30、，所以

31、NN′

32、＝(

33、BB′

34、＋

35、AA′

36、)＝(

37、BF

38、＋

39、AF

40、)＝

41、AB

42、＝

43、MN

44、，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角是120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是30°，斜率是.故选B.5．(2018·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，

45、B两点，F为C的焦点．若

46、FA

47、＝2

48、FB

49、，则k＝(　　)A.B.C.D.解析：选D　设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2,0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，连接OB，由

50、FA

51、＝2

52、FB

53、，知

54、AM

55、＝2

56、BN

57、，∴点B为线段AP的中点，则

58、OB

59、＝

60、AF

61、，∴

62、OB

63、＝

64、BF

65、，∴点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为(1,2)，∴k＝＝.故选D.6．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为__

66、______．解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,2)．∴

67、AB

68、＝4，正三角形OAB的面积为×4×6＝12.答案：127．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若

69、AF

70、＝3，则

71、BF

72、＝________.解析：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则

73、AF

74、＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2，所以直线AB的斜率为k

75、＝＝2.则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝，所以xB＝，所以

76、BF

77、＝＋1＝.答案：8．(2019·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若

78、AF

79、＞

80、BF

81、，且

82、AF

83、＝2，则p＝________.解析：过点A，B向抛物线的准线x＝－作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，∵A，B两点在抛物线上，∴

84、AC

85、＝

86、AF

87、，

88、BD

89、＝

90、BF

91、.∵BE⊥AC，∴

92、AE

93、＝

94、AF

95、

96、－

97、BF

98、，∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2

99、AE

100、＝

101、AB

102、＝

103、AF

104、＋

105、BF

106、，即2(

107、AF

108、－

109、BF

110、)＝

111、AF

112、＋

113、BF

114、，∴

115、AF

116、＝3

117、BF

118、.∵

119、AF

120、＝2，∴

121、BF

122、＝，∴

123、AB

124、＝

125、AF

126、＋

127、BF

128、＝.设直线AB的方程为y＝，代入y2＝2px，得3x2－5px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝p，∵

129、AB

130、＝x1＋x2＋p＝，∴p＝1.答案：19．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率