2003-2004学年第一学期概率统计(B)重修课考试试卷答案

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1、2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案2003-2004学年第一学期概率统计重修课考试试卷答案一．计算题（本题满分30分，共有5道小题，每道小题6分）．1．设、是随机事件，，，求．解：由于，所以所以，，．2．设连续型随机变量的密度函数为，求与．解：因为所以，所以，，．3．袋中有红球4只，黑球3只，从中任意取出2只，求这2只球的颜色不相同的概率．解：设，则．4．设随机变量服从区间上的均匀分布，求．解：由于随机变量服从区间上的均匀分布，所以，．第8页共8页2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案所以，．

2、所以，．5．设总体的密度函数为其中为未知参数，是从总体中抽取的一个样本，求的矩估计量．解：．得方程，解方程，得．将替换成，得的矩估计量为．二．计算题（本题满分40分，共有5道小题，每道小题8分）．6．已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者．并且某学校学生中男、女生的比例为2∶1，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？解：设，，则由Bayes公式，得．7．设连续型随机变量的分布函数为试求：⑴.系数与；⑵.概率；⑶.随机变量的密度函数．第8页共8页2003-2004学年第一学期概率论与数理统

3、计重修课考试试卷答案解：⑴.由，，得解方程组，得，所以，⑵.⑶.的密度函数为．8．设二维随机变量服从平面区域上的均匀分布．⑴.试求二维随机变量的联合密度函数；⑵.求随机变量及各自的边缘密度函数；⑶.求，及；⑷判断随机变量与是否相互独立？是否不相关？解：第8页共8页2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案⑴．平面区域的面积为，所以，二维随机变量的联合密度函数为⑵.当时，所以，随机变量的边缘密度函数为；同理，随机变量的边缘密度函数为．⑶.由对称性，得⑷由于，所以，随机变量与不相关．但是，所以，随机变量与不相互独立．9．设随机变量

4、，，试求随机变量的密度函数．解：随机变量的密度函数为第8页共8页2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案设随机变量的分布函数为，则有①.如果，即，则有；②.如果，则有即所以，即．10．某单位有200台分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话．假定每台分机是否使用外线是相互独立的，试用中心极限定理估计该单位至少要装多少条外线，才能以99%以上的概率保证分机使用外线时不等待．（已知，其中是标准正态分布的分布函数．）解：设，则设：该单位某时刻使用外线的分机数．则．设需要给单位安装条外线，则要使分机使用外线时不等待，必须，所以，第8

5、页共8页2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案由题意，，即查表，得所以，因此，至少要装18条外线，才能满足要求．三．计算题（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分）．11．设总体的密度函数为，其中是未知参数，是从该总体中抽取的一个样本．⑴.求未知参数的矩估计；⑵.求．解：⑴.，所以，，将用样本均值来替换，得未知参数的矩估计为⑵.，而所以，12．设随机变量与相互独立，且都服从标准正态分布．令随机变量第8页共8页2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案．⑴试求随机变量的密度函数．⑵试求．解：⑴由题

6、意，得，．设随机变量的分布函数为，则当时，；当时，作极坐标变换，则有所以，随机变量的分布函数为所以，随机变量的密度函数为⑵．13．已知总体的分布律为第8页共8页2003-2004学年第一学期概率论与数理统计重修课考试试卷答案其中是未知参数，是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为时，参数的最大似然估计值．解：．所以当样本观测值为时，似然函数为所以，．令，得，由此得似然函数在区间上的驻点为．并且是似然函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为．即当样本观测值为时，参数的最大似然估计值为．第8页共8页