2、方程是( )A.y=-πx+π2B.y=πx+π2C.y=-πx-π2D.y=πx-π2解析:y'=sinx+xcosx,于是切线斜率为k=sinπ+πcosπ=-π,于是切线方程为y-0=-π(x-π),即y=-πx+π2.答案:A4.已知命题p:若θ=150°,则sinθ=12,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:原命题为真,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个真命题.答案:B5.(2017江西新余调研考试)设p:∀x∈R,x2-4x+m>0;q:函数f(x)=-13x3+
3、2x2-mx-1在R上是减函数,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若p为真,则Δ=16-4m<0,解得m>4;若q为真,f'(x)=-x2+4x-m≤0在R上恒成立,则Δ=16-4m≤0,解得m≥4,所以p是q的充分不必要条件.答案:A6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C的方程为( )A.x2-y23=1B.x23-y2=1C.x23-y2=1D.x2-y29=1解析:在双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=
4、1,又e=ca=2,两式联立得a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3.∴双曲线C的方程为x2-y23=1.答案:A7.(2017天津南开中学高二月考)已知函数f(x)=x+blnx在区间(0,2)上不是单调函数,则b的取值范围是( )A.(-∞,0)B.(-∞,-2)C.(-2,0)D.(-2,+∞)解析:f'(x)=1+bx=x+bx,g(x)=x+b(x>0)是增函数,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).答案:C8.(2017湖南长沙高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x2
5、-y2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=( )A.2B.4C.23D.43解析:抛物线x2=2py(p>0)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,与双曲线x2-y2=1的交点为A-p2,p2-42,B-p2,-p2-42,又若△ABF为等边三角形,所以kAF=p2-42-0-p2-p2=-p2-42p=-33,解之得p=23.答案:C9.已知命题p:若函数f(x)在(a,b)上存在零点,则f(a)f(b)<0;命题q:若g'(x0)=0,则g(x)在x0处取得极值,则下列为真命题的是( )A.p∨qB.p∧qC.(?p)∧qD.
6、p∨(?q)解析:若函数f(x)在(a,b)上存在零点,则不一定有f(a)·f(b)<0,也可能有f(a)f(b)>0,故命题p为假;若g'(x0)=0,则g(x)不一定在x0处取得极值,例如函数g(x)=x3在x=0处有g'(0)=0,但g(x)=x3无极值,故命题q为假,因此p∨(?q)为真命题.答案:D10.(2017重庆万州高二月考)已知直线y=a与函数f(x)=13x3-x2-3x+1的图象相切,则实数a的值为( )A.-26或83B.-1或3C.8或-83D.-8或83解析:f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)=x2-2x-3=0,x=
7、-1,x=3,则f(-1)=83,f(3)=-8,即函数的极值是-8和83,故实数a的值为-8或83.答案:D11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的平方为( )A.32B.3-12C.53D.5-12解析:由题设可知以F1F2为直径的圆与直线AB相切,而直线的方程为x-a+yb=1,即bx-ay+ab=0,故圆心O(0,0)到直线bx-ay+ab=0的距离d=aba2+b2=abc=c,即ab=c2,也即a2(a2-c2
8、)=c4,所以e4+e2=1,解之得e2=5-12,故应选D.答案:D12.导学
