2005年湖州市期望杯数学竞赛试题(初三组)

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1、2005年湖州市“期望杯”数学竞赛试题（初三组）学校：姓名：准考证号：成绩：说明：本试卷满分120分；时间120分钟（12月4日上午9：00---11：00）。一．选择题（本大题共6小题，每题5分。共30分）1．如果多项式，则的最小值是（）(A)2005(B)2006(C)2007(D)20082．如图1，图中平行四边形共有的个数是（）　　　　　　　　　　　　　　　(A)40　（B）38　（C）36　（D）30（图1）3.对于方程,共有几对整数解（）(A)0(B)1(C)3(D)54.如图2，在平行四边形ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，ABCDE且与CD

2、相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为（）（A）3（B）4（C）（D）（图2）5．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（）A．901班B．902班C．903班D．904班6.设，是二次方程的两根，则等于（）A．-4B.8C.6D.0二．填空题（本大题共6小题，每题5分。共30分）1.观察图形3，用表示第i个三角形的面积，有；；，…，若，则n的最小值为　　

3、　。（图3）2．如果一个凸n边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n最多为。3．在直角坐标系中有三点A(0,-1),B(1,3)C(2,6).已知直线y=ax+b上横坐标为0，1，2的点分别为D，E，F，试求a,b的值使。4．如图4，AB是⊙O的直径，AB=10㎝，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连结MP、NP，则MP＋NP的最小值是㎝．（图4）5.设定义为，定义为，则多项式，当时的值为.6．湖州市浙北超市对顾客优惠购物,规定如下:①若一次购物少于100元,则不予优惠;②若一次购物满100元,但不超过500元,按

4、标价给予九折优惠;③若一次购物超过500元,其中500元部分给予九折优惠,超过500元的部分给予八折优惠；小李两次去该超市购物,分别付款99元和530元,现在小张决定一次去购买小李分两次购买的同样多的物品,小张需付元.一．解答题（本大题共3小题，每题20分。共60分）1．如图，直线与两坐标轴分别交于P、Q两点，在线段PQ上有一点A，过A点分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B、C。（1）若矩形ABOC的面积为5，求A点坐标。（2）若点A在线段PQ上移动，求矩形ABOC面积的最大值。　　　　　　　　　　　　　　　　　　yQACpBＯ　　　　　　　　　　　　　　　　　x　　

5、　　　　　　　　　　　　　　　　2．如图，OA是⊙O的直径，延长OA至B，使OA=AB，C是OA的中点，D是圆周上的点，连结CD、BDD求证：BD=2CD.BCAO3．若m为整数，在使m2＋m＋4为完全平方数的所有m的值中，设其最大值为a，最小值为b，次小值为c．（1）求a、b、c的值；（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，加上剩下的一个数，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，得到2004，2005，2006？证明你的结论．2005年“期望杯”数学竞赛参考答案（初三组）一、选择题（每题5分，共3

6、0分）题号123456答案ACBDBD二、填空题（每题5分，共30分）题号123456答案10732609.2或618三、解答题（每题20分，共60分）1．解：略2．证明：延长DC至E，使连结DO、DA、EA、EODC=CE，C是OA的中点EOACDB.四边形OEAD是平行四边形OD=AE，OD=OA，OA=AB，AE=AB，AE=OADA=DADC=CEBD=2CD3.解：（1）设m2＋m＋4=k2（k为非负整数），则有m2＋m＋4－k2=0，由m为整数知其△为完全平方数，即1－4（4－k2）=p2（p为非负整数），（2k＋p）（2k－p）=15，显然：2k＋p>

7、2k－p,所以或，解得p=7或p=1，所以，得：m1=3，m2=－4，m3=0，m4=－1，所以a=3，b=－4，c=－1．（2）因为，即操作前后，这三个数的平方和不变，而32＋（－4）2＋（－1）2≠20042＋20052＋20062．所以，对a、b、c进行若干次操作后，不能得到2004，2005，2006这三个数．