高考数学课后限时集训47直线与圆锥曲线（含解析）理

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1、课后限时集训(四十七)　(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是()A．1　B．2　C．1或2　D．0A　[因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.C　[设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得＝，e＝＝，故选C.]

2、3．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点．若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2xB　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则两式相减可得2p＝·(y1＋y2)＝kAB·2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x.]4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于()A．－3B．－C．－或－3D．±B　[依题意，当直线l经过椭圆

3、的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.]5．(2018·太原一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则

4、AB

5、＝()A．6B．8C．12D．16A　[由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所

6、以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以

7、y1－y2

8、＝，所以△AOB的面积为×1×＝，解得k＝±，所以

9、AB

10、＝

11、y1－y2

12、＝6，故选A.]二、填空题6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．　[由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1

13、，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.则

14、AB

15、＝＝＝＝.]7．(2019·沧州百校联盟)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，＋＝1②，①②两式相减并整理得＝－·.把已知条件代入上式得，－＝－×，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝.]8．P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则·的取值范围是______

16、__．[3,15]　[圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝

17、

18、2－1，显然

19、

20、∈[a－c，a＋c]＝[2,4]，所以·＝

21、

22、2－1∈[3,15]．]三、解答题9.如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．[解]　设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个

23、不等实根，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.因为k≠0，所以－b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．[解]　(1)由题意，

24、得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2>0，∴－2